Average Error: 11.8 → 11.1
Time: 23.5s
Precision: 64
\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \le -1.030424106011912816578398721320006037319 \cdot 10^{71}:\\ \;\;\;\;\left(t \cdot \left(i \cdot b\right) - \mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{elif}\;t \le -1.214821309588839429371515261393612721544 \cdot 10^{-260}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + b \cdot \left(-t \cdot i\right)\right)\right) + \left(a \cdot \left(j \cdot c\right) - i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t \le 4.749658990747298893060256746869401998511 \cdot 10^{87}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)} - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(a \cdot \left(j \cdot c\right) - i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(t \cdot \left(i \cdot b\right) - \mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array}\]
\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;t \le -1.030424106011912816578398721320006037319 \cdot 10^{71}:\\
\;\;\;\;\left(t \cdot \left(i \cdot b\right) - \mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\

\mathbf{elif}\;t \le -1.214821309588839429371515261393612721544 \cdot 10^{-260}:\\
\;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + b \cdot \left(-t \cdot i\right)\right)\right) + \left(a \cdot \left(j \cdot c\right) - i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)\\

\mathbf{elif}\;t \le 4.749658990747298893060256746869401998511 \cdot 10^{87}:\\
\;\;\;\;\left(\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)} - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(a \cdot \left(j \cdot c\right) - i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\left(t \cdot \left(i \cdot b\right) - \mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\

\end{array}
double f(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
        double r538962 = x;
        double r538963 = y;
        double r538964 = z;
        double r538965 = r538963 * r538964;
        double r538966 = t;
        double r538967 = a;
        double r538968 = r538966 * r538967;
        double r538969 = r538965 - r538968;
        double r538970 = r538962 * r538969;
        double r538971 = b;
        double r538972 = c;
        double r538973 = r538972 * r538964;
        double r538974 = i;
        double r538975 = r538966 * r538974;
        double r538976 = r538973 - r538975;
        double r538977 = r538971 * r538976;
        double r538978 = r538970 - r538977;
        double r538979 = j;
        double r538980 = r538972 * r538967;
        double r538981 = r538963 * r538974;
        double r538982 = r538980 - r538981;
        double r538983 = r538979 * r538982;
        double r538984 = r538978 + r538983;
        return r538984;
}
↓
double f(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
        double r538985 = t;
        double r538986 = -1.0304241060119128e+71;
        bool r538987 = r538985 <= r538986;
        double r538988 = i;
        double r538989 = b;
        double r538990 = r538988 * r538989;
        double r538991 = r538985 * r538990;
        double r538992 = z;
        double r538993 = c;
        double r538994 = r538989 * r538993;
        double r538995 = a;
        double r538996 = x;
        double r538997 = r538996 * r538985;
        double r538998 = r538995 * r538997;
        double r538999 = fma(r538992, r538994, r538998);
        double r539000 = r538991 - r538999;
        double r539001 = j;
        double r539002 = r538993 * r538995;
        double r539003 = y;
        double r539004 = r539003 * r538988;
        double r539005 = r539002 - r539004;
        double r539006 = r539001 * r539005;
        double r539007 = r539000 + r539006;
        double r539008 = -1.2148213095888394e-260;
        bool r539009 = r538985 <= r539008;
        double r539010 = r539003 * r538992;
        double r539011 = r538985 * r538995;
        double r539012 = r539010 - r539011;
        double r539013 = r538996 * r539012;
        double r539014 = r538992 * r538994;
        double r539015 = r538985 * r538988;
        double r539016 = -r539015;
        double r539017 = r538989 * r539016;
        double r539018 = r539014 + r539017;
        double r539019 = r539013 - r539018;
        double r539020 = r539001 * r538993;
        double r539021 = r538995 * r539020;
        double r539022 = r539003 * r539001;
        double r539023 = r538988 * r539022;
        double r539024 = r539021 - r539023;
        double r539025 = r539019 + r539024;
        double r539026 = 4.749658990747299e+87;
        bool r539027 = r538985 <= r539026;
        double r539028 = cbrt(r538996);
        double r539029 = cbrt(r539012);
        double r539030 = r539028 * r539029;
        double r539031 = cbrt(r539013);
        double r539032 = r539030 * r539031;
        double r539033 = r539032 * r539031;
        double r539034 = r538993 * r538992;
        double r539035 = r539034 - r539015;
        double r539036 = r538989 * r539035;
        double r539037 = r539033 - r539036;
        double r539038 = r539037 + r539024;
        double r539039 = r539027 ? r539038 : r539007;
        double r539040 = r539009 ? r539025 : r539039;
        double r539041 = r538987 ? r539007 : r539040;
        return r539041;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original11.8
Target19.6
Herbie11.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \lt -1.469694296777705016266218530347997287942 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{elif}\;x \lt 3.21135273622268028942701600607048800714 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot i - x \cdot a\right) \cdot t - \left(z \cdot \left(c \cdot b\right) - j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if t < -1.0304241060119128e+71 or 4.749658990747299e+87 < t

    1. Initial program 18.7

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

    2. Taylor expanded around inf 17.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(t \cdot \left(i \cdot b\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)} + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

    3. Simplified17.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(t \cdot \left(i \cdot b\right) - \mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)} + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

    if -1.0304241060119128e+71 < t < -1.2148213095888394e-260

    1. Initial program 9.5

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

    2. Taylor expanded around inf 9.0

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \color{blue}{\left(a \cdot \left(j \cdot c\right) - i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied sub-neg9.0

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \color{blue}{\left(c \cdot z + \left(-t \cdot i\right)\right)}\right) + \left(a \cdot \left(j \cdot c\right) - i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)\]

    5. Applied distribute-lft-in9.0

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \color{blue}{\left(b \cdot \left(c \cdot z\right) + b \cdot \left(-t \cdot i\right)\right)}\right) + \left(a \cdot \left(j \cdot c\right) - i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)\]

    6. Simplified9.1

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(\color{blue}{z \cdot \left(b \cdot c\right)} + b \cdot \left(-t \cdot i\right)\right)\right) + \left(a \cdot \left(j \cdot c\right) - i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)\]

    if -1.2148213095888394e-260 < t < 4.749658990747299e+87

    1. Initial program 9.2

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\]

    2. Taylor expanded around inf 8.7

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \color{blue}{\left(a \cdot \left(j \cdot c\right) - i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-cube-cbrt9.0

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)} \cdot \sqrt[3]{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)}} - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(a \cdot \left(j \cdot c\right) - i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied cbrt-prod9.0

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a}\right)} \cdot \sqrt[3]{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)} - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(a \cdot \left(j \cdot c\right) - i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification11.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;t \le -1.030424106011912816578398721320006037319 \cdot 10^{71}:\\ \;\;\;\;\left(t \cdot \left(i \cdot b\right) - \mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{elif}\;t \le -1.214821309588839429371515261393612721544 \cdot 10^{-260}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \left(z \cdot \left(b \cdot c\right) + b \cdot \left(-t \cdot i\right)\right)\right) + \left(a \cdot \left(j \cdot c\right) - i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t \le 4.749658990747298893060256746869401998511 \cdot 10^{87}:\\ \;\;\;\;\left(\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y \cdot z - t \cdot a}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right)} - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + \left(a \cdot \left(j \cdot c\right) - i \cdot \left(y \cdot j\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(t \cdot \left(i \cdot b\right) - \mathsf{fma}\left(z, b \cdot c, a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019305 +o rules:numerics
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< x -1.46969429677770502e-64) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2) (pow (* t i) 2))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))) (if (< x 3.2113527362226803e-147) (- (* (- (* b i) (* x a)) t) (- (* z (* c b)) (* j (- (* c a) (* y i))))) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2) (pow (* t i) 2))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))))