NMSE Section 6.1 mentioned, A

Average Error: 29.6 → 1.7

Time: 27.1s

Precision: 64

• could not determine a ground truth for program body

  1. x = -2.9321243197412288e+172
  2. eps = -1.195905374420792e-130

Math

\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 8.501320620640498795819319236142604285806 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot \left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right)}^{2}\right)}^{3}}}\right)}^{4} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right)}^{4}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{\frac{1}{\varepsilon} + 1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \frac{\frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}\right) + \frac{1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\\ \end{array}\]

C

double f(double x, double eps) {
        double r48666 = 1.0;
        double r48667 = eps;
        double r48668 = r48666 / r48667;
        double r48669 = r48666 + r48668;
        double r48670 = r48666 - r48667;
        double r48671 = x;
        double r48672 = r48670 * r48671;
        double r48673 = -r48672;
        double r48674 = exp(r48673);
        double r48675 = r48669 * r48674;
        double r48676 = r48668 - r48666;
        double r48677 = r48666 + r48667;
        double r48678 = r48677 * r48671;
        double r48679 = -r48678;
        double r48680 = exp(r48679);
        double r48681 = r48676 * r48680;
        double r48682 = r48675 - r48681;
        double r48683 = 2.0;
        double r48684 = r48682 / r48683;
        return r48684;
}

↓

double f(double x, double eps) {
        double r48685 = x;
        double r48686 = 8.501320620640499e-15;
        bool r48687 = r48685 <= r48686;
        double r48688 = 2.0;
        double r48689 = r48685 * r48685;
        double r48690 = 0.6666666666666667;
        double r48691 = r48685 * r48690;
        double r48692 = 1.0;
        double r48693 = r48691 - r48692;
        double r48694 = cbrt(r48693);
        double r48695 = cbrt(r48694);
        double r48696 = r48695 * r48695;
        double r48697 = 2.0;
        double r48698 = pow(r48695, r48697);
        double r48699 = 3.0;
        double r48700 = pow(r48698, r48699);
        double r48701 = cbrt(r48700);
        double r48702 = cbrt(r48701);
        double r48703 = 4.0;
        double r48704 = pow(r48702, r48703);
        double r48705 = cbrt(r48695);
        double r48706 = pow(r48705, r48703);
        double r48707 = r48704 * r48706;
        double r48708 = r48696 * r48707;
        double r48709 = r48708 * r48694;
        double r48710 = r48689 * r48709;
        double r48711 = r48688 + r48710;
        double r48712 = r48711 / r48688;
        double r48713 = eps;
        double r48714 = r48692 / r48713;
        double r48715 = r48714 + r48692;
        double r48716 = r48692 - r48713;
        double r48717 = r48716 * r48685;
        double r48718 = exp(r48717);
        double r48719 = r48715 / r48718;
        double r48720 = r48692 + r48713;
        double r48721 = r48720 * r48685;
        double r48722 = exp(r48721);
        double r48723 = r48714 / r48722;
        double r48724 = r48719 - r48723;
        double r48725 = r48692 / r48722;
        double r48726 = r48724 + r48725;
        double r48727 = r48726 / r48688;
        double r48728 = r48687 ? r48712 : r48727;
        return r48728;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 8.501320620640499e-15

   1. Initial program 38.9

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

   2. Simplified 38.9

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} + 1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}}\]

   3. Taylor expanded around 0 1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]

   4. Simplified 1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1\right)}}{2}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied add-cube-cbrt 1.1

      \[\leadsto \frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1} \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)}}{2}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied add-cube-cbrt 1.1

      \[\leadsto \frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right)} \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)}{2}\]

   9. Applied associate-*l* 1.1

      \[\leadsto \frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)}{2}\]

   10. Simplified 1.1

       \[\leadsto \frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right)}^{4}}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)}{2}\]
   11. Using strategy rm

   12. Applied add-cube-cbrt 1.1

       \[\leadsto \frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1} \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}}\right)}^{4}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)}{2}\]

   13. Applied cbrt-prod 1.1

       \[\leadsto \frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1} \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}}\right)}^{4}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)}{2}\]

   14. Applied cbrt-prod 1.1

       \[\leadsto \frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1} \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right)}}^{4}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)}{2}\]

   15. Applied unpow-prod-down 1.1

       \[\leadsto \frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1} \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right)}^{4} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right)}^{4}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)}{2}\]

   16. Simplified 1.1

       \[\leadsto \frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right)}^{2}\right)}^{3}}}\right)}^{4}} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right)}^{4}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)}{2}\]

   if 8.501320620640499e-15 < x

   1. Initial program 3.7

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

   2. Simplified 3.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} + 1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \frac{\frac{1}{\varepsilon} - 1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied div-sub 3.7

      \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1}{\varepsilon} + 1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}} - \frac{1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}\right)}}{2}\]

   5. Applied associate--r- 3.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\frac{\frac{1}{\varepsilon} + 1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \frac{\frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}\right) + \frac{1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}}{2}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 1.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 8.501320620640498795819319236142604285806 \cdot 10^{-15}:\\ \;\;\;\;\frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right) \cdot \left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{{\left({\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}\right)}^{2}\right)}^{3}}}\right)}^{4} \cdot {\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}}}\right)}^{4}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421 - 1}\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\frac{\frac{1}{\varepsilon} + 1}{e^{\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x}} - \frac{\frac{1}{\varepsilon}}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}\right) + \frac{1}{e^{\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}}{2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019304 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1 (/ 1 eps)) (exp (- (* (- 1 eps) x)))) (* (- (/ 1 eps) 1) (exp (- (* (+ 1 eps) x))))) 2))