Average Error: 20.3 → 0.2
Time: 19.1s
Precision: 64
\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -0.6121835230050514109478854152257554233074 \lor \neg \left(z \le 125942949.1297363936901092529296875\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{y}{z}, 0.07512208616047560960637952121032867580652, \mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, y, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}, \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}\right)}, x\right)\\ \end{array}\]
x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;z \le -0.6121835230050514109478854152257554233074 \lor \neg \left(z \le 125942949.1297363936901092529296875\right):\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{y}{z}, 0.07512208616047560960637952121032867580652, \mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, y, x\right)\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}, \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}\right)}, x\right)\\

\end{array}
double f(double x, double y, double z) {
        double r268454 = x;
        double r268455 = y;
        double r268456 = z;
        double r268457 = 0.0692910599291889;
        double r268458 = r268456 * r268457;
        double r268459 = 0.4917317610505968;
        double r268460 = r268458 + r268459;
        double r268461 = r268460 * r268456;
        double r268462 = 0.279195317918525;
        double r268463 = r268461 + r268462;
        double r268464 = r268455 * r268463;
        double r268465 = 6.012459259764103;
        double r268466 = r268456 + r268465;
        double r268467 = r268466 * r268456;
        double r268468 = 3.350343815022304;
        double r268469 = r268467 + r268468;
        double r268470 = r268464 / r268469;
        double r268471 = r268454 + r268470;
        return r268471;
}
↓
double f(double x, double y, double z) {
        double r268472 = z;
        double r268473 = -0.6121835230050514;
        bool r268474 = r268472 <= r268473;
        double r268475 = 125942949.1297364;
        bool r268476 = r268472 <= r268475;
        double r268477 = !r268476;
        bool r268478 = r268474 || r268477;
        double r268479 = y;
        double r268480 = r268479 / r268472;
        double r268481 = 0.07512208616047561;
        double r268482 = 0.0692910599291889;
        double r268483 = x;
        double r268484 = fma(r268482, r268479, r268483);
        double r268485 = fma(r268480, r268481, r268484);
        double r268486 = 6.012459259764103;
        double r268487 = r268472 + r268486;
        double r268488 = 3.350343815022304;
        double r268489 = fma(r268487, r268472, r268488);
        double r268490 = r268479 / r268489;
        double r268491 = 0.4917317610505968;
        double r268492 = fma(r268472, r268482, r268491);
        double r268493 = 0.279195317918525;
        double r268494 = fma(r268492, r268472, r268493);
        double r268495 = cbrt(r268494);
        double r268496 = r268495 * r268495;
        double r268497 = log(r268495);
        double r268498 = exp(r268497);
        double r268499 = r268496 * r268498;
        double r268500 = fma(r268490, r268499, r268483);
        double r268501 = r268478 ? r268485 : r268500;
        return r268501;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original20.3
Target0.1
Herbie0.2
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \lt -8120153.6524566747248172760009765625:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047560960637952121032867580652}{z} + 0.06929105992918889456166908757950295694172\right) \cdot y - \left(\frac{0.4046220386999212492717958866705885156989 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \lt 657611897278737678336:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047560960637952121032867580652}{z} + 0.06929105992918889456166908757950295694172\right) \cdot y - \left(\frac{0.4046220386999212492717958866705885156989 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if z < -0.6121835230050514 or 125942949.1297364 < z

    1. Initial program 40.8

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]

    2. Simplified33.8

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right), x\right)}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt33.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{y}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right), x\right)\]

    5. Applied associate-/r*33.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\frac{y}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right), x\right)\]

    6. Taylor expanded around inf 0.2

      \[\leadsto \color{blue}{x + \left(0.07512208616047560960637952121032867580652 \cdot \frac{y}{z} + 0.06929105992918889456166908757950295694172 \cdot y\right)}\]

    7. Simplified0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{z}, 0.07512208616047560960637952121032867580652, \mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, y, x\right)\right)}\]

    if -0.6121835230050514 < z < 125942949.1297364

    1. Initial program 0.1

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]

    2. Simplified0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right), x\right)}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-cube-cbrt0.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}}, x\right)\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-exp-log0.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}, \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}\right) \cdot \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}\right)}}, x\right)\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -0.6121835230050514109478854152257554233074 \lor \neg \left(z \le 125942949.1297363936901092529296875\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{y}{z}, 0.07512208616047560960637952121032867580652, \mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, y, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}, \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}\right) \cdot e^{\log \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}\right)}, x\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019303 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.6524566747) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291888946) y) (- (/ (* 0.404622038699921249 y) (* z z)) x)) (if (< z 657611897278737680000) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291888946) 0.49173176105059679) z) 0.279195317918524977)) (/ 1 (+ (* (+ z 6.0124592597641033) z) 3.35034381502230394)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291888946) y) (- (/ (* 0.404622038699921249 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291888946) 0.49173176105059679) z) 0.279195317918524977)) (+ (* (+ z 6.0124592597641033) z) 3.35034381502230394))))