Average Error: 25.8 → 24.3
Time: 16.1s
Precision: 64
\[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
↓
\[\frac{\frac{x.im}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]
\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}
↓
\frac{\frac{x.im}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}
double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r59634 = x_im;
        double r59635 = y_re;
        double r59636 = r59634 * r59635;
        double r59637 = x_re;
        double r59638 = y_im;
        double r59639 = r59637 * r59638;
        double r59640 = r59636 - r59639;
        double r59641 = r59635 * r59635;
        double r59642 = r59638 * r59638;
        double r59643 = r59641 + r59642;
        double r59644 = r59640 / r59643;
        return r59644;
}
↓
double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r59645 = x_im;
        double r59646 = y_re;
        double r59647 = r59646 * r59646;
        double r59648 = y_im;
        double r59649 = r59648 * r59648;
        double r59650 = r59647 + r59649;
        double r59651 = sqrt(r59650);
        double r59652 = sqrt(r59651);
        double r59653 = r59645 / r59652;
        double r59654 = r59646 / r59652;
        double r59655 = r59653 * r59654;
        double r59656 = x_re;
        double r59657 = r59656 * r59648;
        double r59658 = r59657 / r59651;
        double r59659 = r59655 - r59658;
        double r59660 = r59652 * r59652;
        double r59661 = r59659 / r59660;
        return r59661;
}

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

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Derivation

  1. Initial program 25.8

    \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied add-sqr-sqrt25.8

    \[\leadsto \frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

  4. Applied associate-/r*25.7

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]
  5. Using strategy rm

  6. Applied div-sub25.7

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied add-sqr-sqrt25.7

    \[\leadsto \frac{\frac{x.im \cdot y.re}{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  9. Applied sqrt-prod25.8

    \[\leadsto \frac{\frac{x.im \cdot y.re}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  10. Applied times-frac24.1

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x.im}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
  11. Using strategy rm

  12. Applied add-sqr-sqrt24.1

    \[\leadsto \frac{\frac{x.im}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}}\]

  13. Applied sqrt-prod24.3

    \[\leadsto \frac{\frac{x.im}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}}\]

  14. Final simplification24.3

    \[\leadsto \frac{\frac{x.im}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} - \frac{x.re \cdot y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}{\sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \sqrt{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019303 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, imaginary part"
  :precision binary64
  (/ (- (* x.im y.re) (* x.re y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))