Jmat.Real.erf

Average Error: 14.0 → 13.2

Time: 19.5s

Precision: 64

Math

\[1 - \left(\frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(0.2548295919999999936678136691625695675611 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.2844967359999999723108032867457950487733 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741000000063863240029604639858007 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027000000012790792425221297889948 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405428999999900341322245367337018251\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\]

↓

\[\frac{\log \left(e^{{\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \left(-\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right)}^{3} + {1}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(1, 1 + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}, \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right)}\]

C

double f(double x) {
        double r151016 = 1.0;
        double r151017 = 0.3275911;
        double r151018 = x;
        double r151019 = fabs(r151018);
        double r151020 = r151017 * r151019;
        double r151021 = r151016 + r151020;
        double r151022 = r151016 / r151021;
        double r151023 = 0.254829592;
        double r151024 = -0.284496736;
        double r151025 = 1.421413741;
        double r151026 = -1.453152027;
        double r151027 = 1.061405429;
        double r151028 = r151022 * r151027;
        double r151029 = r151026 + r151028;
        double r151030 = r151022 * r151029;
        double r151031 = r151025 + r151030;
        double r151032 = r151022 * r151031;
        double r151033 = r151024 + r151032;
        double r151034 = r151022 * r151033;
        double r151035 = r151023 + r151034;
        double r151036 = r151022 * r151035;
        double r151037 = r151019 * r151019;
        double r151038 = -r151037;
        double r151039 = exp(r151038);
        double r151040 = r151036 * r151039;
        double r151041 = r151016 - r151040;
        return r151041;
}

↓

double f(double x) {
        double r151042 = 1.0;
        double r151043 = x;
        double r151044 = fabs(r151043);
        double r151045 = 0.3275911;
        double r151046 = fma(r151044, r151045, r151042);
        double r151047 = r151042 / r151046;
        double r151048 = 1.061405429;
        double r151049 = -1.453152027;
        double r151050 = fma(r151047, r151048, r151049);
        double r151051 = 1.421413741;
        double r151052 = fma(r151047, r151050, r151051);
        double r151053 = -0.284496736;
        double r151054 = fma(r151052, r151047, r151053);
        double r151055 = 0.254829592;
        double r151056 = fma(r151047, r151054, r151055);
        double r151057 = 2.0;
        double r151058 = pow(r151044, r151057);
        double r151059 = exp(r151058);
        double r151060 = r151056 / r151059;
        double r151061 = -r151060;
        double r151062 = r151047 * r151061;
        double r151063 = 3.0;
        double r151064 = pow(r151062, r151063);
        double r151065 = pow(r151042, r151063);
        double r151066 = r151064 + r151065;
        double r151067 = exp(r151066);
        double r151068 = log(r151067);
        double r151069 = r151047 * r151060;
        double r151070 = r151042 + r151069;
        double r151071 = r151069 * r151069;
        double r151072 = fma(r151042, r151070, r151071);
        double r151073 = r151068 / r151072;
        return r151073;
}

Error

Bits error versus x

Derivation

1. Initial program 14.0

   \[1 - \left(\frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(0.2548295919999999936678136691625695675611 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.2844967359999999723108032867457950487733 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741000000063863240029604639858007 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027000000012790792425221297889948 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405428999999900341322245367337018251\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\]

2. Simplified 14.0

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}}, 1\right)}\]
3. Using strategy rm

4. Applied fma-udef 14.0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \left(-\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{\left|x\right| \cdot \left|x\right|}}\right) + 1}\]

5. Simplified 14.0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \left(-\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)} + 1\]
6. Using strategy rm

7. Applied flip3-+ 13.9

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \left(-\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right)}^{3} + {1}^{3}}{\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \left(-\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \left(-\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right) + \left(1 \cdot 1 - \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \left(-\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right) \cdot 1\right)}}\]

8. Simplified 13.9

   \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \left(-\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right)}^{3} + {1}^{3}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(1, 1 + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}, \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right)}}\]
9. Using strategy rm

10. Applied add-log-exp 13.9

    \[\leadsto \frac{{\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \left(-\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right)}^{3} + \color{blue}{\log \left(e^{{1}^{3}}\right)}}{\mathsf{fma}\left(1, 1 + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}, \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right)}\]

11. Applied add-log-exp 13.9

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\log \left(e^{{\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \left(-\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right)}^{3}}\right)} + \log \left(e^{{1}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(1, 1 + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}, \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right)}\]

12. Applied sum-log 14.3

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\log \left(e^{{\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \left(-\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right)}^{3}} \cdot e^{{1}^{3}}\right)}}{\mathsf{fma}\left(1, 1 + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}, \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right)}\]

13. Simplified 13.2

    \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{\left(e^{{\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \left(-\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right)}^{3} + {1}^{3}}\right)}}{\mathsf{fma}\left(1, 1 + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}, \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right)}\]

14. Final simplification 13.2

    \[\leadsto \frac{\log \left(e^{{\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \left(-\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right)}^{3} + {1}^{3}}\right)}{\mathsf{fma}\left(1, 1 + \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}, \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)\right)}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019235 +o rules:numerics
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.erf"
  :precision binary64
  (- 1 (* (* (/ 1 (+ 1 (* 0.32759110000000002 (fabs x)))) (+ 0.25482959199999999 (* (/ 1 (+ 1 (* 0.32759110000000002 (fabs x)))) (+ -0.284496735999999972 (* (/ 1 (+ 1 (* 0.32759110000000002 (fabs x)))) (+ 1.42141374100000006 (* (/ 1 (+ 1 (* 0.32759110000000002 (fabs x)))) (+ -1.45315202700000001 (* (/ 1 (+ 1 (* 0.32759110000000002 (fabs x)))) 1.0614054289999999))))))))) (exp (- (* (fabs x) (fabs x)))))))