Average Error: 29.2 → 1.0
Time: 19.9s
Precision: 64
\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 14.67295150394162028817390819313004612923:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right) + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot {e}^{\left(-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}}{2}\\ \end{array}\]
\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;x \le 14.67295150394162028817390819313004612923:\\
\;\;\;\;\frac{\left(\left(\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right) + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot {e}^{\left(-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}}{2}\\

\end{array}
double f(double x, double eps) {
        double r32687 = 1.0;
        double r32688 = eps;
        double r32689 = r32687 / r32688;
        double r32690 = r32687 + r32689;
        double r32691 = r32687 - r32688;
        double r32692 = x;
        double r32693 = r32691 * r32692;
        double r32694 = -r32693;
        double r32695 = exp(r32694);
        double r32696 = r32690 * r32695;
        double r32697 = r32689 - r32687;
        double r32698 = r32687 + r32688;
        double r32699 = r32698 * r32692;
        double r32700 = -r32699;
        double r32701 = exp(r32700);
        double r32702 = r32697 * r32701;
        double r32703 = r32696 - r32702;
        double r32704 = 2.0;
        double r32705 = r32703 / r32704;
        return r32705;
}
↓
double f(double x, double eps) {
        double r32706 = x;
        double r32707 = 14.67295150394162;
        bool r32708 = r32706 <= r32707;
        double r32709 = 0.6666666666666667;
        double r32710 = 3.0;
        double r32711 = pow(r32706, r32710);
        double r32712 = r32709 * r32711;
        double r32713 = cbrt(r32712);
        double r32714 = cbrt(r32713);
        double r32715 = r32714 * r32714;
        double r32716 = r32715 * r32714;
        double r32717 = r32713 * r32716;
        double r32718 = r32717 * r32716;
        double r32719 = 2.0;
        double r32720 = r32718 + r32719;
        double r32721 = 1.0;
        double r32722 = 2.0;
        double r32723 = pow(r32706, r32722);
        double r32724 = r32721 * r32723;
        double r32725 = r32720 - r32724;
        double r32726 = r32725 / r32719;
        double r32727 = eps;
        double r32728 = r32721 / r32727;
        double r32729 = r32721 + r32728;
        double r32730 = r32721 - r32727;
        double r32731 = r32730 * r32706;
        double r32732 = -r32731;
        double r32733 = exp(r32732);
        double r32734 = r32729 * r32733;
        double r32735 = r32728 - r32721;
        double r32736 = exp(1.0);
        double r32737 = r32721 + r32727;
        double r32738 = r32737 * r32706;
        double r32739 = -r32738;
        double r32740 = pow(r32736, r32739);
        double r32741 = r32735 * r32740;
        double r32742 = r32734 - r32741;
        double r32743 = r32742 / r32719;
        double r32744 = r32708 ? r32726 : r32743;
        return r32744;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if x < 14.67295150394162

    1. Initial program 38.7

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Taylor expanded around 0 1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-cube-cbrt1.1

      \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}} \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}\right) \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt1.1

      \[\leadsto \frac{\left(\left(\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}} \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied add-cube-cbrt1.1

      \[\leadsto \frac{\left(\left(\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right)} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\]

    if 14.67295150394162 < x

    1. Initial program 0.4

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied *-un-lft-identity0.4

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{\color{blue}{1 \cdot \left(-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}}}{2}\]

    4. Applied exp-prod0.4

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot \color{blue}{{\left(e^{1}\right)}^{\left(-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}}}{2}\]

    5. Simplified0.4

      \[\leadsto \frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot {\color{blue}{e}}^{\left(-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}}{2}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification1.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 14.67295150394162028817390819313004612923:\\ \;\;\;\;\frac{\left(\left(\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}} \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}}}\right) + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot {e}^{\left(-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x\right)}}{2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019235 
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1 (/ 1 eps)) (exp (- (* (- 1 eps) x)))) (* (- (/ 1 eps) 1) (exp (- (* (+ 1 eps) x))))) 2))