Average Error: 29.2 → 0.9
Time: 19.4s
Precision: 64
\[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 10.27850428298179785713273304281756281853:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\frac{{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}\right)}^{3} + {\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right), \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right) - 0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}, \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421\right) \cdot {x}^{6}\right)}\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(1, \frac{e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}}{\varepsilon}, 1 \cdot \left(\left(e^{-x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)} + e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right) - \frac{e^{-x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)}}{\varepsilon}\right)\right)}{2}\\ \end{array}\]
\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;x \le 10.27850428298179785713273304281756281853:\\
\;\;\;\;\frac{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\frac{{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}\right)}^{3} + {\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right), \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right) - 0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}, \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421\right) \cdot {x}^{6}\right)}\right)\right)}{2}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(1, \frac{e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}}{\varepsilon}, 1 \cdot \left(\left(e^{-x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)} + e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right) - \frac{e^{-x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)}}{\varepsilon}\right)\right)}{2}\\

\end{array}
double f(double x, double eps) {
        double r39012 = 1.0;
        double r39013 = eps;
        double r39014 = r39012 / r39013;
        double r39015 = r39012 + r39014;
        double r39016 = r39012 - r39013;
        double r39017 = x;
        double r39018 = r39016 * r39017;
        double r39019 = -r39018;
        double r39020 = exp(r39019);
        double r39021 = r39015 * r39020;
        double r39022 = r39014 - r39012;
        double r39023 = r39012 + r39013;
        double r39024 = r39023 * r39017;
        double r39025 = -r39024;
        double r39026 = exp(r39025);
        double r39027 = r39022 * r39026;
        double r39028 = r39021 - r39027;
        double r39029 = 2.0;
        double r39030 = r39028 / r39029;
        return r39030;
}
↓
double f(double x, double eps) {
        double r39031 = x;
        double r39032 = 10.278504282981798;
        bool r39033 = r39031 <= r39032;
        double r39034 = 0.6666666666666667;
        double r39035 = 3.0;
        double r39036 = pow(r39031, r39035);
        double r39037 = r39034 * r39036;
        double r39038 = pow(r39037, r39035);
        double r39039 = 1.0;
        double r39040 = -r39039;
        double r39041 = r39031 * r39040;
        double r39042 = 2.0;
        double r39043 = fma(r39031, r39041, r39042);
        double r39044 = pow(r39043, r39035);
        double r39045 = r39038 + r39044;
        double r39046 = r39043 - r39037;
        double r39047 = r39034 * r39034;
        double r39048 = 6.0;
        double r39049 = pow(r39031, r39048);
        double r39050 = r39047 * r39049;
        double r39051 = fma(r39043, r39046, r39050);
        double r39052 = r39045 / r39051;
        double r39053 = expm1(r39052);
        double r39054 = log1p(r39053);
        double r39055 = r39054 / r39042;
        double r39056 = eps;
        double r39057 = r39056 - r39039;
        double r39058 = r39031 * r39057;
        double r39059 = exp(r39058);
        double r39060 = r39059 / r39056;
        double r39061 = r39039 + r39056;
        double r39062 = r39031 * r39061;
        double r39063 = -r39062;
        double r39064 = exp(r39063);
        double r39065 = r39064 + r39059;
        double r39066 = r39064 / r39056;
        double r39067 = r39065 - r39066;
        double r39068 = r39039 * r39067;
        double r39069 = fma(r39039, r39060, r39068);
        double r39070 = r39069 / r39042;
        double r39071 = r39033 ? r39055 : r39070;
        return r39071;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus eps

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if x < 10.278504282981798

    1. Initial program 38.8

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Taylor expanded around 0 1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]

    3. Simplified1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.6666666666666667406815349750104360282421, {x}^{3}, 2\right) - 1 \cdot {x}^{2}}}{2}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied fma-udef1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + 2\right)} - 1 \cdot {x}^{2}}{2}\]

    6. Applied associate--l+1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + \left(2 - 1 \cdot {x}^{2}\right)}}{2}\]

    7. Simplified1.1

      \[\leadsto \frac{0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3} + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right)}}{2}\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied flip3-+1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}\right)}^{3} + {\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right)\right)}^{3}}{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}\right) + \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right) - \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right)\right)}}}{2}\]

    10. Simplified1.1

      \[\leadsto \frac{\frac{{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}\right)}^{3} + {\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right)\right)}^{3}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right), \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right) - 0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}, \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421\right) \cdot {x}^{6}\right)}}}{2}\]
    11. Using strategy rm

    12. Applied log1p-expm1-u1.1

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\frac{{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}\right)}^{3} + {\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right), \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right) - 0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}, \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421\right) \cdot {x}^{6}\right)}\right)\right)}}{2}\]

    if 10.278504282981798 < x

    1. Initial program 0.4

      \[\frac{\left(1 + \frac{1}{\varepsilon}\right) \cdot e^{-\left(1 - \varepsilon\right) \cdot x} - \left(\frac{1}{\varepsilon} - 1\right) \cdot e^{-\left(1 + \varepsilon\right) \cdot x}}{2}\]

    2. Taylor expanded around inf 0.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 \cdot \frac{e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}}{\varepsilon} + \left(1 \cdot e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)} + 1 \cdot e^{x \cdot \varepsilon - 1 \cdot x}\right)\right) - 1 \cdot \frac{e^{-\left(x \cdot \varepsilon + 1 \cdot x\right)}}{\varepsilon}}}{2}\]

    3. Simplified0.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(1, \frac{e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}}{\varepsilon}, 1 \cdot \left(\left(e^{-x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)} + e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right) - \frac{e^{-x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)}}{\varepsilon}\right)\right)}}{2}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.9

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 10.27850428298179785713273304281756281853:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\frac{{\left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}\right)}^{3} + {\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right)\right)}^{3}}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right), \mathsf{fma}\left(x, x \cdot \left(-1\right), 2\right) - 0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot {x}^{3}, \left(0.6666666666666667406815349750104360282421 \cdot 0.6666666666666667406815349750104360282421\right) \cdot {x}^{6}\right)}\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(1, \frac{e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}}{\varepsilon}, 1 \cdot \left(\left(e^{-x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)} + e^{x \cdot \left(\varepsilon - 1\right)}\right) - \frac{e^{-x \cdot \left(1 + \varepsilon\right)}}{\varepsilon}\right)\right)}{2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019209 +o rules:numerics
(FPCore (x eps)
  :name "NMSE Section 6.1 mentioned, A"
  :precision binary64
  (/ (- (* (+ 1 (/ 1 eps)) (exp (- (* (- 1 eps) x)))) (* (- (/ 1 eps) 1) (exp (- (* (+ 1 eps) x))))) 2))