Average Error: 33.0 → 6.5
Time: 29.6s
Precision: 64
\[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \le 1.125668450022391945673096295095075056459 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{expm1}\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\right)\right)}\right) \cdot \frac{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \end{array}\]
e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \le 1.125668450022391945673096295095075056459 \cdot 10^{-14}:\\
\;\;\;\;e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\mathsf{expm1}\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\right)\right)}\right) \cdot \frac{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\

\end{array}
double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r26892 = x_re;
        double r26893 = r26892 * r26892;
        double r26894 = x_im;
        double r26895 = r26894 * r26894;
        double r26896 = r26893 + r26895;
        double r26897 = sqrt(r26896);
        double r26898 = log(r26897);
        double r26899 = y_re;
        double r26900 = r26898 * r26899;
        double r26901 = atan2(r26894, r26892);
        double r26902 = y_im;
        double r26903 = r26901 * r26902;
        double r26904 = r26900 - r26903;
        double r26905 = exp(r26904);
        double r26906 = r26898 * r26902;
        double r26907 = r26901 * r26899;
        double r26908 = r26906 + r26907;
        double r26909 = sin(r26908);
        double r26910 = r26905 * r26909;
        return r26910;
}
↓
double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r26911 = x_re;
        double r26912 = r26911 * r26911;
        double r26913 = x_im;
        double r26914 = r26913 * r26913;
        double r26915 = r26912 + r26914;
        double r26916 = sqrt(r26915);
        double r26917 = log(r26916);
        double r26918 = y_re;
        double r26919 = r26917 * r26918;
        double r26920 = atan2(r26913, r26911);
        double r26921 = y_im;
        double r26922 = r26920 * r26921;
        double r26923 = r26919 - r26922;
        double r26924 = exp(r26923);
        double r26925 = r26917 * r26921;
        double r26926 = r26920 * r26918;
        double r26927 = r26925 + r26926;
        double r26928 = sin(r26927);
        double r26929 = r26924 * r26928;
        double r26930 = 1.125668450022392e-14;
        bool r26931 = r26929 <= r26930;
        double r26932 = hypot(r26911, r26913);
        double r26933 = log(r26932);
        double r26934 = fma(r26933, r26921, r26926);
        double r26935 = sin(r26934);
        double r26936 = log1p(r26935);
        double r26937 = cbrt(r26936);
        double r26938 = r26937 * r26937;
        double r26939 = r26938 * r26937;
        double r26940 = expm1(r26939);
        double r26941 = pow(r26932, r26918);
        double r26942 = exp(r26922);
        double r26943 = r26941 / r26942;
        double r26944 = r26940 * r26943;
        double r26945 = r26931 ? r26929 : r26944;
        return r26945;
}

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if (* (exp (- (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im))) (sin (+ (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re)))) < 1.125668450022392e-14

    1. Initial program 1.8

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    if 1.125668450022392e-14 < (* (exp (- (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im))) (sin (+ (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re))))

    1. Initial program 62.6

      \[e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\]

    2. Simplified10.6

      \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(\mathsf{fma}\left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\right) \cdot \frac{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied expm1-log1p-u10.6

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\right)\right)\right)} \cdot \frac{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt11.1

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\right)\right)}}\right) \cdot \frac{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification6.5

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right) \le 1.125668450022391945673096295095075056459 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;e^{\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.re - \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im} \cdot \sin \left(\log \left(\sqrt{x.re \cdot x.re + x.im \cdot x.im}\right) \cdot y.im + \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{expm1}\left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{log1p}\left(\sin \left(\mathsf{fma}\left(\log \left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right), y.im, \tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.re\right)\right)\right)}\right) \cdot \frac{{\left(\mathsf{hypot}\left(x.re, x.im\right)\right)}^{y.re}}{e^{\tan^{-1}_* \frac{x.im}{x.re} \cdot y.im}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019208 +o rules:numerics
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "powComplex, imaginary part"
  :precision binary64
  (* (exp (- (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.re) (* (atan2 x.im x.re) y.im))) (sin (+ (* (log (sqrt (+ (* x.re x.re) (* x.im x.im)))) y.im) (* (atan2 x.im x.re) y.re)))))