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Precision: 64
\[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
↓
\[\left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot 1\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}{\pi}}{t}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\]
\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}
↓
\left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot 1\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}{\pi}}{t}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}
double f(double v, double t) {
        double r7225396 = 1.0;
        double r7225397 = 5.0;
        double r7225398 = v;
        double r7225399 = r7225398 * r7225398;
        double r7225400 = r7225397 * r7225399;
        double r7225401 = r7225396 - r7225400;
        double r7225402 = atan2(1.0, 0.0);
        double r7225403 = t;
        double r7225404 = r7225402 * r7225403;
        double r7225405 = 2.0;
        double r7225406 = 3.0;
        double r7225407 = r7225406 * r7225399;
        double r7225408 = r7225396 - r7225407;
        double r7225409 = r7225405 * r7225408;
        double r7225410 = sqrt(r7225409);
        double r7225411 = r7225404 * r7225410;
        double r7225412 = r7225396 - r7225399;
        double r7225413 = r7225411 * r7225412;
        double r7225414 = r7225401 / r7225413;
        return r7225414;
}
↓
double f(double v, double t) {
        double r7225415 = 1.0;
        double r7225416 = 3.0;
        double r7225417 = v;
        double r7225418 = r7225417 * r7225417;
        double r7225419 = r7225416 * r7225418;
        double r7225420 = r7225415 + r7225419;
        double r7225421 = sqrt(r7225420);
        double r7225422 = r7225418 * r7225415;
        double r7225423 = r7225418 * r7225418;
        double r7225424 = r7225422 + r7225423;
        double r7225425 = r7225415 * r7225415;
        double r7225426 = r7225424 + r7225425;
        double r7225427 = r7225421 * r7225426;
        double r7225428 = 5.0;
        double r7225429 = r7225418 * r7225428;
        double r7225430 = r7225415 - r7225429;
        double r7225431 = 2.0;
        double r7225432 = r7225419 * r7225419;
        double r7225433 = r7225425 - r7225432;
        double r7225434 = r7225431 * r7225433;
        double r7225435 = sqrt(r7225434);
        double r7225436 = r7225430 / r7225435;
        double r7225437 = atan2(1.0, 0.0);
        double r7225438 = r7225436 / r7225437;
        double r7225439 = t;
        double r7225440 = r7225438 / r7225439;
        double r7225441 = r7225425 * r7225415;
        double r7225442 = r7225417 * r7225418;
        double r7225443 = r7225442 * r7225442;
        double r7225444 = r7225441 - r7225443;
        double r7225445 = r7225440 / r7225444;
        double r7225446 = r7225427 * r7225445;
        return r7225446;
}

Error

Bits error versus v

Bits error versus t

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Derivation

  1. Initial program 0.4

    \[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied flip3--0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}\]

  4. Applied flip--0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

  5. Applied associate-*r/0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

  6. Applied sqrt-div0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

  7. Applied associate-*r/0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}} \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

  8. Applied frac-times0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}\]

  9. Applied associate-/r/0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)}\]

  10. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{\pi}}{t}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right)\right)}}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]
  11. Using strategy rm

  12. Applied *-un-lft-identity0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{\pi}}{\color{blue}{1 \cdot t}}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right)\right)}}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

  13. Applied div-inv0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\color{blue}{\left(1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \frac{1}{\pi}}}{1 \cdot t}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right)\right)}}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

  14. Applied times-frac0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\pi}}{t}}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right)\right)}}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

  15. Applied associate-/l*0.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{1}}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right)\right)}}{\frac{\frac{1}{\pi}}{t}}}}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

  16. Simplified0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{1}}{\color{blue}{\left(\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right)\right)} \cdot \pi\right) \cdot t}}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]
  17. Using strategy rm

  18. Applied associate-/r*0.1

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{1}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right)\right)} \cdot \pi}}{t}}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

  19. Simplified0.1

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\sqrt{\left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot 2}}}{\pi}}}{t}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

  20. Final simplification0.1

    \[\leadsto \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot 1\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}{\pi}}{t}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019200 +o rules:numerics
(FPCore (v t)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)"
  (/ (- 1.0 (* 5.0 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2.0 (- 1.0 (* 3.0 (* v v)))))) (- 1.0 (* v v)))))