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Precision: 64
\[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
↓
\[\left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot 1\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}{\pi}}{t}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\]
\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}
↓
\left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot 1\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}{\pi}}{t}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}
double f(double v, double t) {
        double r7451051 = 1.0;
        double r7451052 = 5.0;
        double r7451053 = v;
        double r7451054 = r7451053 * r7451053;
        double r7451055 = r7451052 * r7451054;
        double r7451056 = r7451051 - r7451055;
        double r7451057 = atan2(1.0, 0.0);
        double r7451058 = t;
        double r7451059 = r7451057 * r7451058;
        double r7451060 = 2.0;
        double r7451061 = 3.0;
        double r7451062 = r7451061 * r7451054;
        double r7451063 = r7451051 - r7451062;
        double r7451064 = r7451060 * r7451063;
        double r7451065 = sqrt(r7451064);
        double r7451066 = r7451059 * r7451065;
        double r7451067 = r7451051 - r7451054;
        double r7451068 = r7451066 * r7451067;
        double r7451069 = r7451056 / r7451068;
        return r7451069;
}
↓
double f(double v, double t) {
        double r7451070 = 1.0;
        double r7451071 = 3.0;
        double r7451072 = v;
        double r7451073 = r7451072 * r7451072;
        double r7451074 = r7451071 * r7451073;
        double r7451075 = r7451070 + r7451074;
        double r7451076 = sqrt(r7451075);
        double r7451077 = r7451073 * r7451070;
        double r7451078 = r7451073 * r7451073;
        double r7451079 = r7451077 + r7451078;
        double r7451080 = r7451070 * r7451070;
        double r7451081 = r7451079 + r7451080;
        double r7451082 = r7451076 * r7451081;
        double r7451083 = 5.0;
        double r7451084 = r7451073 * r7451083;
        double r7451085 = r7451070 - r7451084;
        double r7451086 = 2.0;
        double r7451087 = r7451074 * r7451074;
        double r7451088 = r7451080 - r7451087;
        double r7451089 = r7451086 * r7451088;
        double r7451090 = sqrt(r7451089);
        double r7451091 = r7451085 / r7451090;
        double r7451092 = atan2(1.0, 0.0);
        double r7451093 = r7451091 / r7451092;
        double r7451094 = t;
        double r7451095 = r7451093 / r7451094;
        double r7451096 = r7451080 * r7451070;
        double r7451097 = r7451072 * r7451073;
        double r7451098 = r7451097 * r7451097;
        double r7451099 = r7451096 - r7451098;
        double r7451100 = r7451095 / r7451099;
        double r7451101 = r7451082 * r7451100;
        return r7451101;
}

Error

Bits error versus v

Bits error versus t

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Derivation

  1. Initial program 0.4

    \[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied flip3--0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}\]

  4. Applied flip--0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

  5. Applied associate-*r/0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

  6. Applied sqrt-div0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

  7. Applied associate-*r/0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}} \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

  8. Applied frac-times0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}\]

  9. Applied associate-/r/0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)}\]

  10. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{\pi}}{t}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right)\right)}}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]
  11. Using strategy rm

  12. Applied *-un-lft-identity0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{\pi}}{\color{blue}{1 \cdot t}}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right)\right)}}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

  13. Applied div-inv0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\color{blue}{\left(1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \frac{1}{\pi}}}{1 \cdot t}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right)\right)}}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

  14. Applied times-frac0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\pi}}{t}}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right)\right)}}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

  15. Applied associate-/l*0.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{1}}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right)\right)}}{\frac{\frac{1}{\pi}}{t}}}}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

  16. Simplified0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{1}}{\color{blue}{\left(\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right)\right)} \cdot \pi\right) \cdot t}}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]
  17. Using strategy rm

  18. Applied associate-/r*0.1

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{1}}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(3 \cdot v\right) \cdot v\right)\right)} \cdot \pi}}{t}}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

  19. Simplified0.1

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\sqrt{\left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot 2}}}{\pi}}}{t}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)} \cdot \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

  20. Final simplification0.1

    \[\leadsto \left(\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot 1\right)\right) \cdot \frac{\frac{\frac{\frac{1 - \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}{\pi}}{t}}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019200 +o rules:numerics
(FPCore (v t)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)"
  (/ (- 1.0 (* 5.0 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2.0 (- 1.0 (* 3.0 (* v v)))))) (- 1.0 (* v v)))))