Numeric.SpecFunctions:$slogFactorial from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 6.0 → 0.6

Time: 1.1m

Precision: 64

Math

\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \frac{\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot z + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -1.438031437492804797591470485801254576708 \cdot 10^{78}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot \left(\frac{z}{x} \cdot z\right) - \frac{z}{x} \cdot 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) - \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\\ \mathbf{elif}\;z \le 17673340579.045108795166015625:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \frac{\mathsf{fma}\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, z, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x} - \left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot {\left(e^{\frac{1}{3}}\right)}^{\left(\log x\right)}\right) - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot \left(\frac{z}{x} \cdot z\right) - \frac{z}{x} \cdot 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) - \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\\ \end{array}\]

C

double f(double x, double y, double z) {
        double r19780937 = x;
        double r19780938 = 0.5;
        double r19780939 = r19780937 - r19780938;
        double r19780940 = log(r19780937);
        double r19780941 = r19780939 * r19780940;
        double r19780942 = r19780941 - r19780937;
        double r19780943 = 0.91893853320467;
        double r19780944 = r19780942 + r19780943;
        double r19780945 = y;
        double r19780946 = 0.0007936500793651;
        double r19780947 = r19780945 + r19780946;
        double r19780948 = z;
        double r19780949 = r19780947 * r19780948;
        double r19780950 = 0.0027777777777778;
        double r19780951 = r19780949 - r19780950;
        double r19780952 = r19780951 * r19780948;
        double r19780953 = 0.083333333333333;
        double r19780954 = r19780952 + r19780953;
        double r19780955 = r19780954 / r19780937;
        double r19780956 = r19780944 + r19780955;
        return r19780956;
}

↓

double f(double x, double y, double z) {
        double r19780957 = z;
        double r19780958 = -1.4380314374928048e+78;
        bool r19780959 = r19780957 <= r19780958;
        double r19780960 = x;
        double r19780961 = 0.5;
        double r19780962 = r19780960 - r19780961;
        double r19780963 = log(r19780960);
        double r19780964 = y;
        double r19780965 = 0.0007936500793651;
        double r19780966 = r19780964 + r19780965;
        double r19780967 = r19780957 / r19780960;
        double r19780968 = r19780967 * r19780957;
        double r19780969 = r19780966 * r19780968;
        double r19780970 = 0.0027777777777778;
        double r19780971 = r19780967 * r19780970;
        double r19780972 = r19780969 - r19780971;
        double r19780973 = cbrt(r19780960);
        double r19780974 = r19780973 * r19780973;
        double r19780975 = r19780973 * r19780974;
        double r19780976 = 0.91893853320467;
        double r19780977 = r19780975 - r19780976;
        double r19780978 = r19780972 - r19780977;
        double r19780979 = fma(r19780962, r19780963, r19780978);
        double r19780980 = -r19780976;
        double r19780981 = 1.0;
        double r19780982 = fma(r19780980, r19780981, r19780976);
        double r19780983 = r19780979 - r19780982;
        double r19780984 = 17673340579.04511;
        bool r19780985 = r19780957 <= r19780984;
        double r19780986 = r19780966 * r19780957;
        double r19780987 = r19780986 - r19780970;
        double r19780988 = 0.083333333333333;
        double r19780989 = fma(r19780987, r19780957, r19780988);
        double r19780990 = r19780989 / r19780960;
        double r19780991 = log1p(r19780973);
        double r19780992 = expm1(r19780991);
        double r19780993 = 0.3333333333333333;
        double r19780994 = exp(r19780993);
        double r19780995 = pow(r19780994, r19780963);
        double r19780996 = r19780973 * r19780995;
        double r19780997 = r19780992 * r19780996;
        double r19780998 = r19780997 - r19780976;
        double r19780999 = r19780990 - r19780998;
        double r19781000 = fma(r19780962, r19780963, r19780999);
        double r19781001 = r19781000 - r19780982;
        double r19781002 = r19780985 ? r19781001 : r19780983;
        double r19781003 = r19780959 ? r19780983 : r19781002;
        return r19781003;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	6.0
Target	1.3
Herbie	0.6

\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)\right) + \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) + \frac{z}{x} \cdot \left(z \cdot \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right)\]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < -1.4380314374928048e+78 or 17673340579.04511 < z

   1. Initial program 26.9

      \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \frac{\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot z + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\]

   2. Simplified 26.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, z \cdot \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) - \left(x - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied *-un-lft-identity 26.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, z \cdot \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) - \left(x - \color{blue}{1 \cdot 0.9189385332046700050057097541866824030876}\right)\]

   5. Applied add-cube-cbrt 26.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, z \cdot \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) - \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}} - 1 \cdot 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\]

   6. Applied prod-diff 26.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, z \cdot \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) - \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x}, -0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right) + \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right)\right)}\]

   7. Applied associate--r+ 26.9

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, z \cdot \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) - \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x}, -0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right)}\]

   8. Simplified 26.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \frac{\mathsf{fma}\left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, z, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x} - \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x} - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\right)} - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right)\]

   9. Taylor expanded around inf 27.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \color{blue}{\left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} \cdot \frac{{z}^{2}}{x} + \frac{{z}^{2} \cdot y}{x}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321 \cdot \frac{z}{x}\right)} - \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x} - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right)\]

   10. Simplified 0.7

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \color{blue}{\left(\left(\frac{z}{x} \cdot z\right) \cdot \left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321 \cdot \frac{z}{x}\right)} - \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x} - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right)\]

   if -1.4380314374928048e+78 < z < 17673340579.04511

   1. Initial program 0.6

      \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \frac{\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot z + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\]

   2. Simplified 0.6

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, z \cdot \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) - \left(x - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied *-un-lft-identity 0.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, z \cdot \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) - \left(x - \color{blue}{1 \cdot 0.9189385332046700050057097541866824030876}\right)\]

   5. Applied add-cube-cbrt 0.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, z \cdot \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) - \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}} - 1 \cdot 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\]

   6. Applied prod-diff 0.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, z \cdot \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) - \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x}, -0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right) + \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right)\right)}\]

   7. Applied associate--r+ 0.6

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, z \cdot \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) - \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x}, -0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right)}\]

   8. Simplified 0.6

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \frac{\mathsf{fma}\left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, z, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x} - \left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x} - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\right)} - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right)\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied add-exp-log 0.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \frac{\mathsf{fma}\left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, z, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x} - \left(\left(\color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x}\right)}} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x} - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right)\]

   11. Simplified 0.5

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \frac{\mathsf{fma}\left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, z, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x} - \left(\left(e^{\color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \log x}} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x} - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right)\]
   12. Using strategy rm

   13. Applied expm1-log1p-u 0.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \frac{\mathsf{fma}\left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, z, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x} - \left(\left(e^{\frac{1}{3} \cdot \log x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right)} - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right)\]
   14. Using strategy rm

   15. Applied add-log-exp 0.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \frac{\mathsf{fma}\left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, z, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x} - \left(\left(e^{\color{blue}{\log \left(e^{\frac{1}{3}}\right)} \cdot \log x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right) - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right)\]

   16. Applied exp-to-pow 0.5

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \frac{\mathsf{fma}\left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, z, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x} - \left(\left(\color{blue}{{\left(e^{\frac{1}{3}}\right)}^{\left(\log x\right)}} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right) - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876 \cdot 1\right)\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.6

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -1.438031437492804797591470485801254576708 \cdot 10^{78}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot \left(\frac{z}{x} \cdot z\right) - \frac{z}{x} \cdot 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) - \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\\ \mathbf{elif}\;z \le 17673340579.045108795166015625:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \frac{\mathsf{fma}\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, z, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x} - \left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt[3]{x}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot {\left(e^{\frac{1}{3}}\right)}^{\left(\log x\right)}\right) - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot \left(\frac{z}{x} \cdot z\right) - \frac{z}{x} \cdot 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) - \left(\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) - 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\right) - \mathsf{fma}\left(-0.9189385332046700050057097541866824030876, 1, 0.9189385332046700050057097541866824030876\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019200 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:$slogFactorial from math-functions-0.1.5.2, B"

  :herbie-target
  (+ (+ (+ (* (- x 0.5) (log x)) (- 0.91893853320467 x)) (/ 0.083333333333333 x)) (* (/ z x) (- (* z (+ y 0.0007936500793651)) 0.0027777777777778)))

  (+ (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467) (/ (+ (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z) 0.083333333333333) x)))