Numeric.SpecFunctions:stirlingError from math-functions-0.1.5.2

Average Error: 0.1 → 0.1

Time: 1.7m

Precision: 64

Math

\[\left(\left(x - \left(y + 0.5\right) \cdot \log y\right) + y\right) - z\]

↓

\[\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}, e^{\log y \cdot \frac{1}{3}}, \left(-\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right)\right) + \left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} + \left(-\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)\right)\right)\right) + x\]

C

double f(double x, double y, double z) {
        double r10484407 = x;
        double r10484408 = y;
        double r10484409 = 0.5;
        double r10484410 = r10484408 + r10484409;
        double r10484411 = log(r10484408);
        double r10484412 = r10484410 * r10484411;
        double r10484413 = r10484407 - r10484412;
        double r10484414 = r10484413 + r10484408;
        double r10484415 = z;
        double r10484416 = r10484414 - r10484415;
        return r10484416;
}

↓

double f(double x, double y, double z) {
        double r10484417 = y;
        double r10484418 = cbrt(r10484417);
        double r10484419 = r10484418 * r10484418;
        double r10484420 = log(r10484417);
        double r10484421 = 0.3333333333333333;
        double r10484422 = r10484420 * r10484421;
        double r10484423 = exp(r10484422);
        double r10484424 = 0.5;
        double r10484425 = r10484424 + r10484417;
        double r10484426 = z;
        double r10484427 = fma(r10484425, r10484420, r10484426);
        double r10484428 = cbrt(r10484427);
        double r10484429 = -r10484428;
        double r10484430 = r10484428 * r10484428;
        double r10484431 = r10484429 * r10484430;
        double r10484432 = fma(r10484419, r10484423, r10484431);
        double r10484433 = r10484430 * r10484428;
        double r10484434 = -r10484427;
        double r10484435 = r10484433 + r10484434;
        double r10484436 = r10484432 + r10484435;
        double r10484437 = x;
        double r10484438 = r10484436 + r10484437;
        return r10484438;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	0.1
Target	0.1
Herbie	0.1

\[\left(\left(y + x\right) - z\right) - \left(y + 0.5\right) \cdot \log y\]

Derivation

1. Initial program 0.1

   \[\left(\left(x - \left(y + 0.5\right) \cdot \log y\right) + y\right) - z\]

2. Simplified 0.1

   \[\leadsto \color{blue}{x + \left(y - \mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)\right)}\]
3. Using strategy rm

4. Applied add-cube-cbrt 0.9

   \[\leadsto x + \left(y - \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}}\right)\]

5. Applied add-cube-cbrt 0.9

   \[\leadsto x + \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}\right) \cdot \sqrt[3]{y}} - \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right)\]

6. Applied prod-diff 0.9

   \[\leadsto x + \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}, \sqrt[3]{y}, -\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right)\right)\right)}\]
7. Using strategy rm

8. Applied add-exp-log 0.9

   \[\leadsto x + \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}, \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{y}\right)}}, -\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right)\right)\right)\]

9. Simplified 0.9

   \[\leadsto x + \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}, e^{\color{blue}{\frac{1}{3} \cdot \log y}}, -\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right)\right)\right)\]
10. Using strategy rm

11. Applied fma-udef 0.9

    \[\leadsto x + \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}, e^{\frac{1}{3} \cdot \log y}, -\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(-\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right) + \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right)\right)}\right)\]

12. Simplified 0.1

    \[\leadsto x + \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}, e^{\frac{1}{3} \cdot \log y}, -\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right)\right) + \left(\color{blue}{\left(-\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)\right)} + \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right)\right)\right)\]

13. Final simplification 0.1

    \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}, e^{\log y \cdot \frac{1}{3}}, \left(-\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right)\right) + \left(\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)} + \left(-\mathsf{fma}\left(0.5 + y, \log y, z\right)\right)\right)\right) + x\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019200 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:stirlingError from math-functions-0.1.5.2"

  :herbie-target
  (- (- (+ y x) z) (* (+ y 0.5) (log y)))

  (- (+ (- x (* (+ y 0.5) (log y))) y) z))