Average Error: 20.5 → 0.2
Time: 32.8s
Precision: 64
\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -329047060.584395707 \lor \neg \left(z \le 0.0137923017903093716\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.0692910599291888946, y, \mathsf{fma}\left(0.07512208616047561, \frac{y}{z}, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x + \frac{y}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}\\ \end{array}\]
x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;z \le -329047060.584395707 \lor \neg \left(z \le 0.0137923017903093716\right):\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.0692910599291888946, y, \mathsf{fma}\left(0.07512208616047561, \frac{y}{z}, x\right)\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;x + \frac{y}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}\\

\end{array}
double f(double x, double y, double z) {
        double r291277 = x;
        double r291278 = y;
        double r291279 = z;
        double r291280 = 0.0692910599291889;
        double r291281 = r291279 * r291280;
        double r291282 = 0.4917317610505968;
        double r291283 = r291281 + r291282;
        double r291284 = r291283 * r291279;
        double r291285 = 0.279195317918525;
        double r291286 = r291284 + r291285;
        double r291287 = r291278 * r291286;
        double r291288 = 6.012459259764103;
        double r291289 = r291279 + r291288;
        double r291290 = r291289 * r291279;
        double r291291 = 3.350343815022304;
        double r291292 = r291290 + r291291;
        double r291293 = r291287 / r291292;
        double r291294 = r291277 + r291293;
        return r291294;
}
↓
double f(double x, double y, double z) {
        double r291295 = z;
        double r291296 = -329047060.5843957;
        bool r291297 = r291295 <= r291296;
        double r291298 = 0.013792301790309372;
        bool r291299 = r291295 <= r291298;
        double r291300 = !r291299;
        bool r291301 = r291297 || r291300;
        double r291302 = 0.0692910599291889;
        double r291303 = y;
        double r291304 = 0.07512208616047561;
        double r291305 = r291303 / r291295;
        double r291306 = x;
        double r291307 = fma(r291304, r291305, r291306);
        double r291308 = fma(r291302, r291303, r291307);
        double r291309 = 6.012459259764103;
        double r291310 = r291295 + r291309;
        double r291311 = 3.350343815022304;
        double r291312 = fma(r291310, r291295, r291311);
        double r291313 = sqrt(r291312);
        double r291314 = r291303 / r291313;
        double r291315 = 0.4917317610505968;
        double r291316 = fma(r291295, r291302, r291315);
        double r291317 = 0.279195317918525;
        double r291318 = fma(r291316, r291295, r291317);
        double r291319 = r291318 / r291313;
        double r291320 = r291314 * r291319;
        double r291321 = r291306 + r291320;
        double r291322 = r291301 ? r291308 : r291321;
        return r291322;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original20.5
Target0.1
Herbie0.2
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \lt -8120153.6524566747:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \lt 657611897278737680000:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291888946\right) \cdot y - \left(\frac{0.404622038699921249 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if z < -329047060.5843957 or 0.013792301790309372 < z

    1. Initial program 41.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]

    2. Simplified34.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right), x\right)}\]

    3. Taylor expanded around 0 34.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \color{blue}{0.49173176105059679 \cdot z + \left(0.0692910599291888946 \cdot {z}^{2} + 0.279195317918524977\right)}, x\right)\]

    4. Simplified34.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{y}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right)}, x\right)\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied div-inv34.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{y \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}, \mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), 0.279195317918524977\right), x\right)\]

    7. Taylor expanded around inf 0.2

      \[\leadsto \color{blue}{x + \left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + 0.0692910599291888946 \cdot y\right)}\]

    8. Simplified0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0692910599291888946, y, \mathsf{fma}\left(0.07512208616047561, \frac{y}{z}, x\right)\right)}\]

    if -329047060.5843957 < z < 0.013792301790309372

    1. Initial program 0.1

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt0.5

      \[\leadsto x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977\right)}{\color{blue}{\sqrt{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394} \cdot \sqrt{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}}}\]

    4. Applied times-frac0.2

      \[\leadsto x + \color{blue}{\frac{y}{\sqrt{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}} \cdot \frac{\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977}{\sqrt{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}}}\]

    5. Simplified0.2

      \[\leadsto x + \color{blue}{\frac{y}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}} \cdot \frac{\left(z \cdot 0.0692910599291888946 + 0.49173176105059679\right) \cdot z + 0.279195317918524977}{\sqrt{\left(z + 6.0124592597641033\right) \cdot z + 3.35034381502230394}}\]

    6. Simplified0.2

      \[\leadsto x + \frac{y}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -329047060.584395707 \lor \neg \left(z \le 0.0137923017903093716\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.0692910599291888946, y, \mathsf{fma}\left(0.07512208616047561, \frac{y}{z}, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x + \frac{y}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291888946, 0.49173176105059679\right), z, 0.279195317918524977\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.0124592597641033, z, 3.35034381502230394\right)}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019199 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1.0 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))