Average Error: 6.1 → 1.5
Time: 27.9s
Precision: 64
\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \frac{\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot z + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \cdot \left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) = -\infty:\\ \;\;\;\;\left(\left(\log x \cdot \left(x - 0.5\right) - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \mathsf{fma}\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{z}{\frac{x}{z}}, \mathsf{fma}\left(\frac{z \cdot z}{x}, y, \left(-0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot \frac{z}{x}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;z \cdot \left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \le 1.343456383389107133987305989756897851819 \cdot 10^{282}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right) + \frac{z \cdot \left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\frac{z}{\frac{x}{z}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - \frac{z \cdot 0.002777777777777800001512975569539776188321}{x}\right) + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 + \left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log \left(\sqrt[3]{x}\right), -x\right)\right)\right)\\ \end{array}\]
\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \frac{\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot z + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;z \cdot \left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) = -\infty:\\
\;\;\;\;\left(\left(\log x \cdot \left(x - 0.5\right) - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \mathsf{fma}\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{z}{\frac{x}{z}}, \mathsf{fma}\left(\frac{z \cdot z}{x}, y, \left(-0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot \frac{z}{x}\right)\right)\\

\mathbf{elif}\;z \cdot \left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \le 1.343456383389107133987305989756897851819 \cdot 10^{282}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right) + \frac{z \cdot \left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\frac{z}{\frac{x}{z}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - \frac{z \cdot 0.002777777777777800001512975569539776188321}{x}\right) + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 + \left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log \left(\sqrt[3]{x}\right), -x\right)\right)\right)\\

\end{array}
double f(double x, double y, double z) {
        double r363343 = x;
        double r363344 = 0.5;
        double r363345 = r363343 - r363344;
        double r363346 = log(r363343);
        double r363347 = r363345 * r363346;
        double r363348 = r363347 - r363343;
        double r363349 = 0.91893853320467;
        double r363350 = r363348 + r363349;
        double r363351 = y;
        double r363352 = 0.0007936500793651;
        double r363353 = r363351 + r363352;
        double r363354 = z;
        double r363355 = r363353 * r363354;
        double r363356 = 0.0027777777777778;
        double r363357 = r363355 - r363356;
        double r363358 = r363357 * r363354;
        double r363359 = 0.083333333333333;
        double r363360 = r363358 + r363359;
        double r363361 = r363360 / r363343;
        double r363362 = r363350 + r363361;
        return r363362;
}
↓
double f(double x, double y, double z) {
        double r363363 = z;
        double r363364 = 0.0007936500793651;
        double r363365 = y;
        double r363366 = r363364 + r363365;
        double r363367 = r363366 * r363363;
        double r363368 = 0.0027777777777778;
        double r363369 = r363367 - r363368;
        double r363370 = r363363 * r363369;
        double r363371 = -inf.0;
        bool r363372 = r363370 <= r363371;
        double r363373 = x;
        double r363374 = log(r363373);
        double r363375 = 0.5;
        double r363376 = r363373 - r363375;
        double r363377 = r363374 * r363376;
        double r363378 = r363377 - r363373;
        double r363379 = 0.91893853320467;
        double r363380 = r363378 + r363379;
        double r363381 = r363373 / r363363;
        double r363382 = r363363 / r363381;
        double r363383 = r363363 * r363363;
        double r363384 = r363383 / r363373;
        double r363385 = -r363368;
        double r363386 = r363363 / r363373;
        double r363387 = r363385 * r363386;
        double r363388 = fma(r363384, r363365, r363387);
        double r363389 = fma(r363364, r363382, r363388);
        double r363390 = r363380 + r363389;
        double r363391 = 1.3434563833891071e+282;
        bool r363392 = r363370 <= r363391;
        double r363393 = r363379 - r363373;
        double r363394 = fma(r363376, r363374, r363393);
        double r363395 = 0.083333333333333;
        double r363396 = r363370 + r363395;
        double r363397 = r363396 / r363373;
        double r363398 = r363394 + r363397;
        double r363399 = r363395 / r363373;
        double r363400 = fma(r363382, r363364, r363399);
        double r363401 = r363363 * r363368;
        double r363402 = r363401 / r363373;
        double r363403 = r363400 - r363402;
        double r363404 = cbrt(r363373);
        double r363405 = r363404 * r363404;
        double r363406 = log(r363405);
        double r363407 = r363376 * r363406;
        double r363408 = log(r363404);
        double r363409 = -r363373;
        double r363410 = fma(r363376, r363408, r363409);
        double r363411 = r363407 + r363410;
        double r363412 = r363379 + r363411;
        double r363413 = r363403 + r363412;
        double r363414 = r363392 ? r363398 : r363413;
        double r363415 = r363372 ? r363390 : r363414;
        return r363415;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original6.1
Target1.4
Herbie1.5
\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)\right) + \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) + \frac{z}{x} \cdot \left(z \cdot \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right)\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z) < -inf.0

    1. Initial program 64.0

      \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \frac{\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot z + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\]

    2. Taylor expanded around inf 64.0

      \[\leadsto \left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \color{blue}{\left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} \cdot \frac{{z}^{2}}{x} + \frac{{z}^{2} \cdot y}{x}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321 \cdot \frac{z}{x}\right)}\]

    3. Simplified19.8

      \[\leadsto \left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{z}{\frac{x}{z}}, \mathsf{fma}\left(\frac{z \cdot z}{x}, y, \frac{z}{x} \cdot \left(-0.002777777777777800001512975569539776188321\right)\right)\right)}\]

    if -inf.0 < (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z) < 1.3434563833891071e+282

    1. Initial program 0.2

      \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \frac{\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot z + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\]

    2. Taylor expanded around 0 0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot \log x + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) - \left(x + 0.5 \cdot \log x\right)\right)} + \frac{\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot z + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\]

    3. Simplified0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)} + \frac{\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot z + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\]

    if 1.3434563833891071e+282 < (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z)

    1. Initial program 54.4

      \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \frac{\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot z + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\]

    2. Taylor expanded around 0 49.8

      \[\leadsto \left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \color{blue}{\left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} \cdot \frac{{z}^{2}}{x} + 0.08333333333333299564049667651488562114537 \cdot \frac{1}{x}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321 \cdot \frac{z}{x}\right)}\]

    3. Simplified11.0

      \[\leadsto \left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{z}{\frac{x}{z}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - \frac{z \cdot 0.002777777777777800001512975569539776188321}{x}\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-cube-cbrt11.0

      \[\leadsto \left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right)} - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \left(\mathsf{fma}\left(\frac{z}{\frac{x}{z}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - \frac{z \cdot 0.002777777777777800001512975569539776188321}{x}\right)\]

    6. Applied log-prod11.1

      \[\leadsto \left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \log \left(\sqrt[3]{x}\right)\right)} - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \left(\mathsf{fma}\left(\frac{z}{\frac{x}{z}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - \frac{z \cdot 0.002777777777777800001512975569539776188321}{x}\right)\]

    7. Applied distribute-lft-in11.1

      \[\leadsto \left(\left(\color{blue}{\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \left(x - 0.5\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{x}\right)\right)} - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \left(\mathsf{fma}\left(\frac{z}{\frac{x}{z}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - \frac{z \cdot 0.002777777777777800001512975569539776188321}{x}\right)\]

    8. Applied associate--l+11.1

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{x}\right) - x\right)\right)} + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \left(\mathsf{fma}\left(\frac{z}{\frac{x}{z}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - \frac{z \cdot 0.002777777777777800001512975569539776188321}{x}\right)\]

    9. Simplified11.0

      \[\leadsto \left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log \left(\sqrt[3]{x}\right), -x\right)}\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \left(\mathsf{fma}\left(\frac{z}{\frac{x}{z}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - \frac{z \cdot 0.002777777777777800001512975569539776188321}{x}\right)\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification1.5

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \cdot \left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) = -\infty:\\ \;\;\;\;\left(\left(\log x \cdot \left(x - 0.5\right) - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \mathsf{fma}\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{z}{\frac{x}{z}}, \mathsf{fma}\left(\frac{z \cdot z}{x}, y, \left(-0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot \frac{z}{x}\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;z \cdot \left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \le 1.343456383389107133987305989756897851819 \cdot 10^{282}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right) + \frac{z \cdot \left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(\frac{z}{\frac{x}{z}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - \frac{z \cdot 0.002777777777777800001512975569539776188321}{x}\right) + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 + \left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log \left(\sqrt[3]{x}\right), -x\right)\right)\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019196 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:$slogFactorial from math-functions-0.1.5.2, B"

  :herbie-target
  (+ (+ (+ (* (- x 0.5) (log x)) (- 0.91893853320467 x)) (/ 0.083333333333333 x)) (* (/ z x) (- (* z (+ y 0.0007936500793651)) 0.0027777777777778)))

  (+ (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467) (/ (+ (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z) 0.083333333333333) x)))