Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 20.5 → 0.1

Time: 19.5s

Precision: 64

Math

\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -901013436.7081737518310546875 \lor \neg \left(z \le 46791781.542689211666584014892578125\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.06929105992918889456166908757950295694172, \mathsf{fma}\left(0.07512208616047560960637952121032867580652, \frac{y}{z}, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(6.012459259764103336465268512256443500519 + z, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(6.012459259764103336465268512256443500519 + z, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}, y, x\right)\\ \end{array}\]

C

double f(double x, double y, double z) {
        double r254029 = x;
        double r254030 = y;
        double r254031 = z;
        double r254032 = 0.0692910599291889;
        double r254033 = r254031 * r254032;
        double r254034 = 0.4917317610505968;
        double r254035 = r254033 + r254034;
        double r254036 = r254035 * r254031;
        double r254037 = 0.279195317918525;
        double r254038 = r254036 + r254037;
        double r254039 = r254030 * r254038;
        double r254040 = 6.012459259764103;
        double r254041 = r254031 + r254040;
        double r254042 = r254041 * r254031;
        double r254043 = 3.350343815022304;
        double r254044 = r254042 + r254043;
        double r254045 = r254039 / r254044;
        double r254046 = r254029 + r254045;
        return r254046;
}

↓

double f(double x, double y, double z) {
        double r254047 = z;
        double r254048 = -901013436.7081738;
        bool r254049 = r254047 <= r254048;
        double r254050 = 46791781.54268921;
        bool r254051 = r254047 <= r254050;
        double r254052 = !r254051;
        bool r254053 = r254049 || r254052;
        double r254054 = y;
        double r254055 = 0.0692910599291889;
        double r254056 = 0.07512208616047561;
        double r254057 = r254054 / r254047;
        double r254058 = x;
        double r254059 = fma(r254056, r254057, r254058);
        double r254060 = fma(r254054, r254055, r254059);
        double r254061 = 0.4917317610505968;
        double r254062 = fma(r254047, r254055, r254061);
        double r254063 = 0.279195317918525;
        double r254064 = fma(r254047, r254062, r254063);
        double r254065 = 6.012459259764103;
        double r254066 = r254065 + r254047;
        double r254067 = 3.350343815022304;
        double r254068 = fma(r254066, r254047, r254067);
        double r254069 = r254064 / r254068;
        double r254070 = sqrt(r254069);
        double r254071 = r254070 * r254070;
        double r254072 = fma(r254071, r254054, r254058);
        double r254073 = r254053 ? r254060 : r254072;
        return r254073;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	20.5
Target	0.2
Herbie	0.1

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \lt -8120153.6524566747248172760009765625:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047560960637952121032867580652}{z} + 0.06929105992918889456166908757950295694172\right) \cdot y - \left(\frac{0.4046220386999212492717958866705885156989 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \lt 657611897278737678336:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047560960637952121032867580652}{z} + 0.06929105992918889456166908757950295694172\right) \cdot y - \left(\frac{0.4046220386999212492717958866705885156989 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < -901013436.7081738 or 46791781.54268921 < z

   1. Initial program 41.3

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]

   2. Simplified 33.3

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, z, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}, y, x\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied fma-udef 33.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, z, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)} \cdot y + x}\]

   5. Simplified 34.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\frac{\mathsf{fma}\left(6.012459259764103336465268512256443500519 + z, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}{y}}} + x\]

   6. Taylor expanded around inf 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{x + \left(0.07512208616047560960637952121032867580652 \cdot \frac{y}{z} + 0.06929105992918889456166908757950295694172 \cdot y\right)}\]

   7. Simplified 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.06929105992918889456166908757950295694172, \mathsf{fma}\left(0.07512208616047560960637952121032867580652, \frac{y}{z}, x\right)\right)}\]

   if -901013436.7081738 < z < 46791781.54268921

   1. Initial program 0.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]

   2. Simplified 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, z, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}, y, x\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt 0.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, z, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, z, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}}, y, x\right)\]

   5. Simplified 0.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(6.012459259764103336465268512256443500519 + z, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, z, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}, y, x\right)\]

   6. Simplified 0.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(6.012459259764103336465268512256443500519 + z, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}} \cdot \color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(6.012459259764103336465268512256443500519 + z, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}}, y, x\right)\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.1

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -901013436.7081737518310546875 \lor \neg \left(z \le 46791781.542689211666584014892578125\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.06929105992918889456166908757950295694172, \mathsf{fma}\left(0.07512208616047560960637952121032867580652, \frac{y}{z}, x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(6.012459259764103336465268512256443500519 + z, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(6.012459259764103336465268512256443500519 + z, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}, y, x\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019196 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1.0 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))