math.sqrt on complex, real part

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Precision: 64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le 6.0730335609358128 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.871932821462343 \cdot 10^{87}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{3}{8}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot {\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{3}{8}}\right) + re\right) \cdot 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

C

double f(double re, double im) {
        double r116528 = 0.5;
        double r116529 = 2.0;
        double r116530 = re;
        double r116531 = r116530 * r116530;
        double r116532 = im;
        double r116533 = r116532 * r116532;
        double r116534 = r116531 + r116533;
        double r116535 = sqrt(r116534);
        double r116536 = r116535 + r116530;
        double r116537 = r116529 * r116536;
        double r116538 = sqrt(r116537);
        double r116539 = r116528 * r116538;
        return r116539;
}

↓

double f(double re, double im) {
        double r116540 = re;
        double r116541 = 6.073033560935813e-309;
        bool r116542 = r116540 <= r116541;
        double r116543 = 0.5;
        double r116544 = 2.0;
        double r116545 = im;
        double r116546 = r116545 * r116545;
        double r116547 = r116544 * r116546;
        double r116548 = sqrt(r116547);
        double r116549 = r116540 * r116540;
        double r116550 = r116549 + r116546;
        double r116551 = sqrt(r116550);
        double r116552 = r116551 - r116540;
        double r116553 = sqrt(r116552);
        double r116554 = r116548 / r116553;
        double r116555 = r116543 * r116554;
        double r116556 = 4.871932821462343e+87;
        bool r116557 = r116540 <= r116556;
        double r116558 = 0.375;
        double r116559 = pow(r116551, r116558);
        double r116560 = sqrt(r116551);
        double r116561 = sqrt(r116560);
        double r116562 = r116561 * r116559;
        double r116563 = r116559 * r116562;
        double r116564 = r116563 + r116540;
        double r116565 = r116564 * r116544;
        double r116566 = sqrt(r116565);
        double r116567 = r116543 * r116566;
        double r116568 = r116540 + r116540;
        double r116569 = r116544 * r116568;
        double r116570 = sqrt(r116569);
        double r116571 = r116543 * r116570;
        double r116572 = r116557 ? r116567 : r116571;
        double r116573 = r116542 ? r116555 : r116572;
        return r116573;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	38.6
Target	33.6
Herbie	26.4

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if re < 6.073033560935813e-309

   1. Initial program 45.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+ 45.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/ 45.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div 45.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 34.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im + 0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   if 6.073033560935813e-309 < re < 4.871932821462343e+87

   1. Initial program 21.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt 21.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

   4. Applied sqrt-prod 21.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied add-sqr-sqrt 21.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

   7. Applied sqrt-prod 21.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

   8. Applied sqrt-prod 21.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

   9. Applied associate-*l* 21.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)} + re\right)}\]

   10. Simplified 21.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}^{3}} + re\right)}\]
   11. Using strategy rm

   12. Applied pow1/2 21.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot {\left(\sqrt{\color{blue}{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{1}{2}}}}\right)}^{3} + re\right)}\]

   13. Applied sqrt-pow1 21.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot {\color{blue}{\left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2}\right)}\right)}}^{3} + re\right)}\]

   14. Applied pow-pow 21.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\left(\frac{\frac{1}{2}}{2} \cdot 3\right)}} + re\right)}\]

   15. Simplified 21.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot {\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\color{blue}{\frac{3}{4}}} + re\right)}\]
   16. Using strategy rm

   17. Applied sqr-pow 21.1

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \color{blue}{\left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{4}}{2}\right)} \cdot {\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{4}}{2}\right)}\right)} + re\right)}\]

   18. Applied associate-*r* 21.1

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot {\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{4}}{2}\right)}\right) \cdot {\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{4}}{2}\right)}} + re\right)}\]

   19. Simplified 21.1

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot {\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{3}{8}}\right)} \cdot {\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\left(\frac{\frac{3}{4}}{2}\right)} + re\right)}\]

   if 4.871932821462343e+87 < re

   1. Initial program 50.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 11.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 26.4

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le 6.0730335609358128 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 4.871932821462343 \cdot 10^{87}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left({\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{3}{8}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot {\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}^{\frac{3}{8}}\right) + re\right) \cdot 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019195 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))