Jmat.Real.erf

Average Error: 14.1 → 2.0

Time: 21.6s

Precision: 64

Math

\[1 - \left(\frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(0.2548295919999999936678136691625695675611 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.2844967359999999723108032867457950487733 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741000000063863240029604639858007 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027000000012790792425221297889948 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405428999999900341322245367337018251\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\]

↓

\[\sqrt{e^{\log \left(\mathsf{fma}\left(-\frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right), 1\right)\right)}} \cdot \sqrt{1 - \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}\]

C

double f(double x) {
        double r161853 = 1.0;
        double r161854 = 0.3275911;
        double r161855 = x;
        double r161856 = fabs(r161855);
        double r161857 = r161854 * r161856;
        double r161858 = r161853 + r161857;
        double r161859 = r161853 / r161858;
        double r161860 = 0.254829592;
        double r161861 = -0.284496736;
        double r161862 = 1.421413741;
        double r161863 = -1.453152027;
        double r161864 = 1.061405429;
        double r161865 = r161859 * r161864;
        double r161866 = r161863 + r161865;
        double r161867 = r161859 * r161866;
        double r161868 = r161862 + r161867;
        double r161869 = r161859 * r161868;
        double r161870 = r161861 + r161869;
        double r161871 = r161859 * r161870;
        double r161872 = r161860 + r161871;
        double r161873 = r161859 * r161872;
        double r161874 = r161856 * r161856;
        double r161875 = -r161874;
        double r161876 = exp(r161875);
        double r161877 = r161873 * r161876;
        double r161878 = r161853 - r161877;
        return r161878;
}

↓

double f(double x) {
        double r161879 = 1.0;
        double r161880 = x;
        double r161881 = fabs(r161880);
        double r161882 = 0.3275911;
        double r161883 = fma(r161881, r161882, r161879);
        double r161884 = r161879 / r161883;
        double r161885 = 2.0;
        double r161886 = pow(r161881, r161885);
        double r161887 = exp(r161886);
        double r161888 = r161884 / r161887;
        double r161889 = -r161888;
        double r161890 = 1.061405429;
        double r161891 = -1.453152027;
        double r161892 = fma(r161890, r161884, r161891);
        double r161893 = 1.421413741;
        double r161894 = fma(r161892, r161884, r161893);
        double r161895 = -0.284496736;
        double r161896 = fma(r161894, r161884, r161895);
        double r161897 = 0.254829592;
        double r161898 = fma(r161884, r161896, r161897);
        double r161899 = fma(r161889, r161898, r161879);
        double r161900 = log(r161899);
        double r161901 = exp(r161900);
        double r161902 = sqrt(r161901);
        double r161903 = fma(r161882, r161881, r161879);
        double r161904 = r161879 / r161903;
        double r161905 = fma(r161890, r161904, r161891);
        double r161906 = fma(r161905, r161904, r161893);
        double r161907 = fma(r161906, r161904, r161895);
        double r161908 = fma(r161904, r161907, r161897);
        double r161909 = sqrt(r161908);
        double r161910 = r161909 * r161909;
        double r161911 = r161910 * r161888;
        double r161912 = r161879 - r161911;
        double r161913 = sqrt(r161912);
        double r161914 = r161902 * r161913;
        return r161914;
}

Error

Bits error versus x

Derivation

1. Initial program 14.1

   \[1 - \left(\frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(0.2548295919999999936678136691625695675611 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.2844967359999999723108032867457950487733 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741000000063863240029604639858007 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027000000012790792425221297889948 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405428999999900341322245367337018251\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\]
2. Using strategy rm

3. Applied add-log-exp 14.1

   \[\leadsto 1 - \color{blue}{\log \left(e^{\left(\frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(0.2548295919999999936678136691625695675611 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.2844967359999999723108032867457950487733 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741000000063863240029604639858007 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027000000012790792425221297889948 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405428999999900341322245367337018251\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}}\right)}\]

4. Applied add-log-exp 14.1

   \[\leadsto \color{blue}{\log \left(e^{1}\right)} - \log \left(e^{\left(\frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(0.2548295919999999936678136691625695675611 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.2844967359999999723108032867457950487733 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741000000063863240029604639858007 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027000000012790792425221297889948 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405428999999900341322245367337018251\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}}\right)\]

5. Applied diff-log 14.8

   \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\frac{e^{1}}{e^{\left(\frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(0.2548295919999999936678136691625695675611 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.2844967359999999723108032867457950487733 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741000000063863240029604639858007 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027000000012790792425221297889948 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405428999999900341322245367337018251\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}}}\right)}\]

6. Simplified 14.1

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(e^{1 - \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}} \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}\right)}\]
7. Using strategy rm

8. Applied add-sqr-sqrt 14.1

   \[\leadsto \log \left(e^{1 - \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}\right)}}\right)\]

9. Simplified 14.1

   \[\leadsto \log \left(e^{1 - \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}} \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), 1.421413741000000063863240029604639858007\right), -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}\right)}\right)\]

10. Simplified 14.1

    \[\leadsto \log \left(e^{1 - \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}}\right)}\right)\]
11. Using strategy rm

12. Applied add-sqr-sqrt 14.1

    \[\leadsto \log \left(e^{\color{blue}{\sqrt{1 - \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}\right)} \cdot \sqrt{1 - \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}\right)}}}\right)\]

13. Applied exp-prod 14.1

    \[\leadsto \log \color{blue}{\left({\left(e^{\sqrt{1 - \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}\right)}}\right)}^{\left(\sqrt{1 - \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}\right)}\right)}\right)}\]

14. Applied log-pow 14.1

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{1 - \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}\right)} \cdot \log \left(e^{\sqrt{1 - \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}\right)}}\right)}\]

15. Simplified 2.3

    \[\leadsto \sqrt{1 - \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right), -\frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}, 1\right)}}\]
16. Using strategy rm

17. Applied add-exp-log 2.0

    \[\leadsto \sqrt{1 - \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}\right)} \cdot \sqrt{\color{blue}{e^{\log \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right), -\frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}, 1\right)\right)}}}\]

18. Simplified 2.0

    \[\leadsto \sqrt{1 - \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}\right)} \cdot \sqrt{e^{\color{blue}{\log \left(\mathsf{fma}\left(-\frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right), 1\right)\right)}}}\]

19. Final simplification 2.0

    \[\leadsto \sqrt{e^{\log \left(\mathsf{fma}\left(-\frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right), 1\right)\right)}} \cdot \sqrt{1 - \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3275911000000000239396058532292954623699, \left|x\right|, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right)}\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019195 +o rules:numerics
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.erf"
  (- 1.0 (* (* (/ 1.0 (+ 1.0 (* 0.3275911 (fabs x)))) (+ 0.254829592 (* (/ 1.0 (+ 1.0 (* 0.3275911 (fabs x)))) (+ -0.284496736 (* (/ 1.0 (+ 1.0 (* 0.3275911 (fabs x)))) (+ 1.421413741 (* (/ 1.0 (+ 1.0 (* 0.3275911 (fabs x)))) (+ -1.453152027 (* (/ 1.0 (+ 1.0 (* 0.3275911 (fabs x)))) 1.061405429))))))))) (exp (- (* (fabs x) (fabs x)))))))