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Precision: 64
\[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \le -3.660481816459021646058030108492220670906 \cdot 10^{-156} \lor \neg \left(y.im \le 3.297289885168792012073579345208696767758 \cdot 10^{91}\right):\\ \;\;\;\;\frac{y.re}{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re} \cdot x.im - \frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} - \frac{y.im \cdot x.re}{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}\\ \end{array}\]
\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;y.im \le -3.660481816459021646058030108492220670906 \cdot 10^{-156} \lor \neg \left(y.im \le 3.297289885168792012073579345208696767758 \cdot 10^{91}\right):\\
\;\;\;\;\frac{y.re}{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re} \cdot x.im - \frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\left(x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} - \frac{y.im \cdot x.re}{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}\\

\end{array}
double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r53462 = x_im;
        double r53463 = y_re;
        double r53464 = r53462 * r53463;
        double r53465 = x_re;
        double r53466 = y_im;
        double r53467 = r53465 * r53466;
        double r53468 = r53464 - r53467;
        double r53469 = r53463 * r53463;
        double r53470 = r53466 * r53466;
        double r53471 = r53469 + r53470;
        double r53472 = r53468 / r53471;
        return r53472;
}
↓
double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r53473 = y_im;
        double r53474 = -3.6604818164590216e-156;
        bool r53475 = r53473 <= r53474;
        double r53476 = 3.297289885168792e+91;
        bool r53477 = r53473 <= r53476;
        double r53478 = !r53477;
        bool r53479 = r53475 || r53478;
        double r53480 = y_re;
        double r53481 = r53473 * r53473;
        double r53482 = r53480 * r53480;
        double r53483 = r53481 + r53482;
        double r53484 = r53480 / r53483;
        double r53485 = x_im;
        double r53486 = r53484 * r53485;
        double r53487 = sqrt(r53483);
        double r53488 = r53473 / r53487;
        double r53489 = x_re;
        double r53490 = r53489 / r53487;
        double r53491 = r53488 * r53490;
        double r53492 = r53486 - r53491;
        double r53493 = r53480 / r53487;
        double r53494 = r53485 * r53493;
        double r53495 = 1.0;
        double r53496 = r53495 / r53487;
        double r53497 = r53494 * r53496;
        double r53498 = r53473 * r53489;
        double r53499 = r53498 / r53483;
        double r53500 = r53497 - r53499;
        double r53501 = r53479 ? r53492 : r53500;
        return r53501;
}

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if y.im < -3.6604818164590216e-156 or 3.297289885168792e+91 < y.im

    1. Initial program 29.7

      \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied div-sub29.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    4. Simplified29.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-sqr-sqrt29.0

      \[\leadsto \frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im - \frac{x.re \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    7. Applied times-frac26.1

      \[\leadsto \frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im - \color{blue}{\frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    8. Simplified26.1

      \[\leadsto \frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im - \color{blue}{\frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    9. Simplified26.1

      \[\leadsto \frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im - \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \color{blue}{\frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}}\]

    if -3.6604818164590216e-156 < y.im < 3.297289885168792e+91

    1. Initial program 20.3

      \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied div-sub20.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    4. Simplified17.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-sqr-sqrt17.6

      \[\leadsto \frac{y.re}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} \cdot x.im - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    7. Applied *-un-lft-identity17.6

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot y.re}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot x.im - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    8. Applied times-frac17.6

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\right)} \cdot x.im - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    9. Applied associate-*l*17.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \left(\frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot x.im\right)} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    10. Simplified17.6

      \[\leadsto \frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{y.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot x.im\right)} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification22.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \le -3.660481816459021646058030108492220670906 \cdot 10^{-156} \lor \neg \left(y.im \le 3.297289885168792012073579345208696767758 \cdot 10^{91}\right):\\ \;\;\;\;\frac{y.re}{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re} \cdot x.im - \frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} - \frac{y.im \cdot x.re}{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019194 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, imaginary part"
  (/ (- (* x.im y.re) (* x.re y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))