Jmat.Real.erf

Average Error: 13.8 → 9.7

Time: 30.9s

Precision: 64

Math

\[1 - \left(\frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(0.2548295919999999936678136691625695675611 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.2844967359999999723108032867457950487733 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741000000063863240029604639858007 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027000000012790792425221297889948 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405428999999900341322245367337018251\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\]

↓

\[\log \left(\sqrt{e^{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}}\right) + \frac{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}{2}\]

C

double f(double x) {
        double r171712 = 1.0;
        double r171713 = 0.3275911;
        double r171714 = x;
        double r171715 = fabs(r171714);
        double r171716 = r171713 * r171715;
        double r171717 = r171712 + r171716;
        double r171718 = r171712 / r171717;
        double r171719 = 0.254829592;
        double r171720 = -0.284496736;
        double r171721 = 1.421413741;
        double r171722 = -1.453152027;
        double r171723 = 1.061405429;
        double r171724 = r171718 * r171723;
        double r171725 = r171722 + r171724;
        double r171726 = r171718 * r171725;
        double r171727 = r171721 + r171726;
        double r171728 = r171718 * r171727;
        double r171729 = r171720 + r171728;
        double r171730 = r171718 * r171729;
        double r171731 = r171719 + r171730;
        double r171732 = r171718 * r171731;
        double r171733 = r171715 * r171715;
        double r171734 = -r171733;
        double r171735 = exp(r171734);
        double r171736 = r171732 * r171735;
        double r171737 = r171712 - r171736;
        return r171737;
}

↓

double f(double x) {
        double r171738 = 1.0;
        double r171739 = x;
        double r171740 = fabs(r171739);
        double r171741 = 0.3275911;
        double r171742 = fma(r171740, r171741, r171738);
        double r171743 = r171738 / r171742;
        double r171744 = 1.061405429;
        double r171745 = -1.453152027;
        double r171746 = fma(r171743, r171744, r171745);
        double r171747 = 1.421413741;
        double r171748 = fma(r171746, r171743, r171747);
        double r171749 = -0.284496736;
        double r171750 = fma(r171748, r171743, r171749);
        double r171751 = 0.254829592;
        double r171752 = fma(r171750, r171743, r171751);
        double r171753 = 2.0;
        double r171754 = pow(r171740, r171753);
        double r171755 = exp(r171754);
        double r171756 = r171743 / r171755;
        double r171757 = r171752 * r171756;
        double r171758 = r171738 - r171757;
        double r171759 = exp(r171758);
        double r171760 = sqrt(r171759);
        double r171761 = log(r171760);
        double r171762 = r171758 / r171753;
        double r171763 = r171761 + r171762;
        return r171763;
}

Error

Bits error versus x

Derivation

1. Initial program 13.8

   \[1 - \left(\frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(0.2548295919999999936678136691625695675611 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.2844967359999999723108032867457950487733 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741000000063863240029604639858007 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027000000012790792425221297889948 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405428999999900341322245367337018251\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\]
2. Using strategy rm

3. Applied add-log-exp 13.8

   \[\leadsto 1 - \color{blue}{\log \left(e^{\left(\frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(0.2548295919999999936678136691625695675611 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.2844967359999999723108032867457950487733 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741000000063863240029604639858007 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027000000012790792425221297889948 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405428999999900341322245367337018251\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}}\right)}\]

4. Applied add-log-exp 13.8

   \[\leadsto \color{blue}{\log \left(e^{1}\right)} - \log \left(e^{\left(\frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(0.2548295919999999936678136691625695675611 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.2844967359999999723108032867457950487733 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741000000063863240029604639858007 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027000000012790792425221297889948 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405428999999900341322245367337018251\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}}\right)\]

5. Applied diff-log 14.6

   \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\frac{e^{1}}{e^{\left(\frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(0.2548295919999999936678136691625695675611 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.2844967359999999723108032867457950487733 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741000000063863240029604639858007 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027000000012790792425221297889948 + \frac{1}{1 + 0.3275911000000000239396058532292954623699 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405428999999900341322245367337018251\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}}}\right)}\]

6. Simplified 13.8

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(e^{1 - \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot e^{-{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}\right)}\right)}\]
7. Using strategy rm

8. Applied add-sqr-sqrt 13.8

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\sqrt{e^{1 - \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot e^{-{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}\right)}} \cdot \sqrt{e^{1 - \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot e^{-{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}\right)}}\right)}\]

9. Applied log-prod 13.8

   \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\sqrt{e^{1 - \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot e^{-{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}\right)}}\right) + \log \left(\sqrt{e^{1 - \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot e^{-{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}\right)}}\right)}\]

10. Simplified 13.8

    \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\sqrt{e^{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}}\right)} + \log \left(\sqrt{e^{1 - \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(1.061405428999999900341322245367337018251, \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)} \cdot e^{-{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}\right)}}\right)\]

11. Simplified 13.8

    \[\leadsto \log \left(\sqrt{e^{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}}\right) + \color{blue}{\log \left(\sqrt{e^{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}}\right)}\]
12. Using strategy rm

13. Applied *-un-lft-identity 13.8

    \[\leadsto \log \left(\sqrt{e^{\color{blue}{1 \cdot \left(1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)}}}\right) + \log \left(\sqrt{e^{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}}\right)\]

14. Applied exp-prod 13.8

    \[\leadsto \log \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(e^{1}\right)}^{\left(1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}\right)}}}\right) + \log \left(\sqrt{e^{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}}\right)\]

15. Applied sqrt-pow1 13.8

    \[\leadsto \log \color{blue}{\left({\left(e^{1}\right)}^{\left(\frac{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}{2}\right)}\right)} + \log \left(\sqrt{e^{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}}\right)\]

16. Applied log-pow 9.7

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}{2} \cdot \log \left(e^{1}\right)} + \log \left(\sqrt{e^{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}}\right)\]

17. Simplified 9.7

    \[\leadsto \frac{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}{2} \cdot \color{blue}{1} + \log \left(\sqrt{e^{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}}\right)\]

18. Final simplification 9.7

    \[\leadsto \log \left(\sqrt{e^{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}}\right) + \frac{1 - \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.061405428999999900341322245367337018251, -1.453152027000000012790792425221297889948\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 1.421413741000000063863240029604639858007\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, -0.2844967359999999723108032867457950487733\right), \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}, 0.2548295919999999936678136691625695675611\right) \cdot \frac{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\left|x\right|, 0.3275911000000000239396058532292954623699, 1\right)}}{e^{{\left(\left|x\right|\right)}^{2}}}}{2}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019194 +o rules:numerics
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.erf"
  (- 1.0 (* (* (/ 1.0 (+ 1.0 (* 0.3275911 (fabs x)))) (+ 0.254829592 (* (/ 1.0 (+ 1.0 (* 0.3275911 (fabs x)))) (+ -0.284496736 (* (/ 1.0 (+ 1.0 (* 0.3275911 (fabs x)))) (+ 1.421413741 (* (/ 1.0 (+ 1.0 (* 0.3275911 (fabs x)))) (+ -1.453152027 (* (/ 1.0 (+ 1.0 (* 0.3275911 (fabs x)))) 1.061405429))))))))) (exp (- (* (fabs x) (fabs x)))))))