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Precision: 64
\[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \le -3.660481816459021646058030108492220670906 \cdot 10^{-156} \lor \neg \left(y.im \le 3.297289885168792012073579345208696767758 \cdot 10^{91}\right):\\ \;\;\;\;\frac{y.re}{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re} \cdot x.im - \frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} - \frac{y.im \cdot x.re}{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}\\ \end{array}\]
\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;y.im \le -3.660481816459021646058030108492220670906 \cdot 10^{-156} \lor \neg \left(y.im \le 3.297289885168792012073579345208696767758 \cdot 10^{91}\right):\\
\;\;\;\;\frac{y.re}{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re} \cdot x.im - \frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\left(x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} - \frac{y.im \cdot x.re}{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}\\

\end{array}
double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r59606 = x_im;
        double r59607 = y_re;
        double r59608 = r59606 * r59607;
        double r59609 = x_re;
        double r59610 = y_im;
        double r59611 = r59609 * r59610;
        double r59612 = r59608 - r59611;
        double r59613 = r59607 * r59607;
        double r59614 = r59610 * r59610;
        double r59615 = r59613 + r59614;
        double r59616 = r59612 / r59615;
        return r59616;
}
↓
double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r59617 = y_im;
        double r59618 = -3.6604818164590216e-156;
        bool r59619 = r59617 <= r59618;
        double r59620 = 3.297289885168792e+91;
        bool r59621 = r59617 <= r59620;
        double r59622 = !r59621;
        bool r59623 = r59619 || r59622;
        double r59624 = y_re;
        double r59625 = r59617 * r59617;
        double r59626 = r59624 * r59624;
        double r59627 = r59625 + r59626;
        double r59628 = r59624 / r59627;
        double r59629 = x_im;
        double r59630 = r59628 * r59629;
        double r59631 = sqrt(r59627);
        double r59632 = r59617 / r59631;
        double r59633 = x_re;
        double r59634 = r59633 / r59631;
        double r59635 = r59632 * r59634;
        double r59636 = r59630 - r59635;
        double r59637 = r59624 / r59631;
        double r59638 = r59629 * r59637;
        double r59639 = 1.0;
        double r59640 = r59639 / r59631;
        double r59641 = r59638 * r59640;
        double r59642 = r59617 * r59633;
        double r59643 = r59642 / r59627;
        double r59644 = r59641 - r59643;
        double r59645 = r59623 ? r59636 : r59644;
        return r59645;
}

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if y.im < -3.6604818164590216e-156 or 3.297289885168792e+91 < y.im

    1. Initial program 29.7

      \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied div-sub29.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    4. Simplified29.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-sqr-sqrt29.0

      \[\leadsto \frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im - \frac{x.re \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    7. Applied times-frac26.1

      \[\leadsto \frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im - \color{blue}{\frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

    8. Simplified26.1

      \[\leadsto \frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im - \color{blue}{\frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    9. Simplified26.1

      \[\leadsto \frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im - \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \color{blue}{\frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}}\]

    if -3.6604818164590216e-156 < y.im < 3.297289885168792e+91

    1. Initial program 20.3

      \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied div-sub20.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

    4. Simplified17.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-sqr-sqrt17.6

      \[\leadsto \frac{y.re}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}} \cdot x.im - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    7. Applied *-un-lft-identity17.6

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot y.re}}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot x.im - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    8. Applied times-frac17.6

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\right)} \cdot x.im - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    9. Applied associate-*l*17.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \left(\frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot x.im\right)} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

    10. Simplified17.6

      \[\leadsto \frac{1}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \color{blue}{\left(\frac{y.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot x.im\right)} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification22.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \le -3.660481816459021646058030108492220670906 \cdot 10^{-156} \lor \neg \left(y.im \le 3.297289885168792012073579345208696767758 \cdot 10^{91}\right):\\ \;\;\;\;\frac{y.re}{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re} \cdot x.im - \frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x.im \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} - \frac{y.im \cdot x.re}{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019194 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, imaginary part"
  (/ (- (* x.im y.re) (* x.re y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))