invcot (example 3.9)

Average Error: 59.9 → 0.2

Time: 24.5s

Precision: 64

\[-0.0259999999999999988065102485279567190446 \lt x \land x \lt 0.0259999999999999988065102485279567190446\]

Math

\[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\]

↓

\[\mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.002116402116402116544841005563171165704262, \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395, 0.3333333333333333148296162562473909929395, \left(\left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right)\right)}{\sqrt{\left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - 0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot \left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right)\right)}} \cdot \frac{x}{\sqrt{\left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - 0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot \left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right)\right)}}\right)\]

C

double f(double x) {
        double r3507837 = 1.0;
        double r3507838 = x;
        double r3507839 = r3507837 / r3507838;
        double r3507840 = tan(r3507838);
        double r3507841 = r3507837 / r3507840;
        double r3507842 = r3507839 - r3507841;
        return r3507842;
}

↓

double f(double x) {
        double r3507843 = x;
        double r3507844 = 5.0;
        double r3507845 = pow(r3507843, r3507844);
        double r3507846 = 0.0021164021164021165;
        double r3507847 = 0.3333333333333333;
        double r3507848 = r3507847 * r3507847;
        double r3507849 = 0.022222222222222223;
        double r3507850 = r3507843 * r3507849;
        double r3507851 = r3507850 * r3507843;
        double r3507852 = r3507851 * r3507851;
        double r3507853 = r3507852 * r3507851;
        double r3507854 = fma(r3507848, r3507847, r3507853);
        double r3507855 = r3507847 * r3507851;
        double r3507856 = r3507848 - r3507855;
        double r3507857 = r3507852 + r3507856;
        double r3507858 = sqrt(r3507857);
        double r3507859 = r3507854 / r3507858;
        double r3507860 = r3507843 / r3507858;
        double r3507861 = r3507859 * r3507860;
        double r3507862 = fma(r3507845, r3507846, r3507861);
        return r3507862;
}

Error

Bits error versus x

Target

Original	59.9
Target	0.1
Herbie	0.2

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \lt 0.0259999999999999988065102485279567190446:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3} \cdot \left(1 + \frac{x \cdot x}{15}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Initial program 59.9

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\]

2. Taylor expanded around 0 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot x + \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot {x}^{3} + 0.002116402116402116544841005563171165704262 \cdot {x}^{5}\right)}\]

3. Simplified 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.002116402116402116544841005563171165704262, 0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot x\right)\right)}\]

4. Taylor expanded around 0 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot x + \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot {x}^{3} + 0.002116402116402116544841005563171165704262 \cdot {x}^{5}\right)}\]

5. Simplified 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.002116402116402116544841005563171165704262, x \cdot \left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right) + 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)\right)}\]
6. Using strategy rm

7. Applied flip3-+ 1.2

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.002116402116402116544841005563171165704262, x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right)}^{3} + {0.3333333333333333148296162562473909929395}^{3}}{\left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - \left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)}}\right)\]

8. Applied associate-*r/ 1.1

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.002116402116402116544841005563171165704262, \color{blue}{\frac{x \cdot \left({\left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right)}^{3} + {0.3333333333333333148296162562473909929395}^{3}\right)}{\left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - \left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)}}\right)\]

9. Simplified 0.3

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.002116402116402116544841005563171165704262, \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395, 0.3333333333333333148296162562473909929395, \left(x \cdot \left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right)\right)\right) \cdot x}}{\left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - \left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)}\right)\]
10. Using strategy rm

11. Applied add-sqr-sqrt 0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.002116402116402116544841005563171165704262, \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395, 0.3333333333333333148296162562473909929395, \left(x \cdot \left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right)\right)\right) \cdot x}{\color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - \left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)} \cdot \sqrt{\left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - \left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)}}}\right)\]

12. Applied times-frac 0.2

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.002116402116402116544841005563171165704262, \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395, 0.3333333333333333148296162562473909929395, \left(x \cdot \left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right)\right)\right)}{\sqrt{\left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - \left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)}} \cdot \frac{x}{\sqrt{\left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - \left(x \cdot \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot x\right)\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)}}}\right)\]

13. Final simplification 0.2

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.002116402116402116544841005563171165704262, \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395, 0.3333333333333333148296162562473909929395, \left(\left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right)\right)}{\sqrt{\left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - 0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot \left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right)\right)}} \cdot \frac{x}{\sqrt{\left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - 0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot \left(\left(x \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot x\right)\right)}}\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019192 +o rules:numerics
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))