expq3 (problem 3.4.2)

Average Error: 60.6 → 52.9

Time: 1.1m

Precision: 64

• could not determine a ground truth for program body

  1. a = -2.881557712119876e+217
  2. b = -1.8191725124069566e+84
  3. eps = -1.4538455709212499e-11

\[-1 \lt \varepsilon \land \varepsilon \lt 1\]

Math

\[\frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(e^{b \cdot \varepsilon} - 1\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \le -1317048539720828722120007736669241344:\\ \;\;\;\;\frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\varepsilon \cdot \left(a + b\right)} - 1\right)}{\left(\left(\left(\left(\varepsilon \cdot b\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot b\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \varepsilon \cdot b\right) + b \cdot \sqrt[3]{\left(b \cdot \left(b \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(b \cdot \left(b \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(e^{\varepsilon \cdot a} - 1\right)}\\ \mathbf{elif}\;a \le 1820560929758688051200:\\ \;\;\;\;\frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\varepsilon \cdot \left(a + b\right)} - 1\right)}{\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) + \left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \varepsilon \cdot a\right)\right) \cdot \left(e^{\varepsilon \cdot b} - 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\varepsilon \cdot \left(\sqrt[3]{e^{\varepsilon \cdot \left(a + b\right)} - 1} \cdot \left(\sqrt[3]{e^{\varepsilon \cdot \left(a + b\right)} - 1} \cdot \sqrt[3]{e^{\varepsilon \cdot \left(a + b\right)} - 1}\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\varepsilon \cdot b\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot b\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \varepsilon \cdot b\right) + b \cdot \sqrt[3]{\left(b \cdot \left(b \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(b \cdot \left(b \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(e^{\varepsilon \cdot a} - 1\right)}\\ \end{array}\]

C

double f(double a, double b, double eps) {
        double r5217808 = eps;
        double r5217809 = a;
        double r5217810 = b;
        double r5217811 = r5217809 + r5217810;
        double r5217812 = r5217811 * r5217808;
        double r5217813 = exp(r5217812);
        double r5217814 = 1.0;
        double r5217815 = r5217813 - r5217814;
        double r5217816 = r5217808 * r5217815;
        double r5217817 = r5217809 * r5217808;
        double r5217818 = exp(r5217817);
        double r5217819 = r5217818 - r5217814;
        double r5217820 = r5217810 * r5217808;
        double r5217821 = exp(r5217820);
        double r5217822 = r5217821 - r5217814;
        double r5217823 = r5217819 * r5217822;
        double r5217824 = r5217816 / r5217823;
        return r5217824;
}

↓

double f(double a, double b, double eps) {
        double r5217825 = a;
        double r5217826 = -1.3170485397208287e+36;
        bool r5217827 = r5217825 <= r5217826;
        double r5217828 = eps;
        double r5217829 = b;
        double r5217830 = r5217825 + r5217829;
        double r5217831 = r5217828 * r5217830;
        double r5217832 = exp(r5217831);
        double r5217833 = 1.0;
        double r5217834 = r5217832 - r5217833;
        double r5217835 = r5217828 * r5217834;
        double r5217836 = r5217828 * r5217829;
        double r5217837 = r5217836 * r5217836;
        double r5217838 = 0.5;
        double r5217839 = r5217837 * r5217838;
        double r5217840 = r5217839 + r5217836;
        double r5217841 = 0.16666666666666666;
        double r5217842 = r5217841 * r5217828;
        double r5217843 = r5217842 * r5217828;
        double r5217844 = r5217828 * r5217843;
        double r5217845 = r5217829 * r5217844;
        double r5217846 = r5217829 * r5217845;
        double r5217847 = r5217846 * r5217846;
        double r5217848 = r5217846 * r5217847;
        double r5217849 = cbrt(r5217848);
        double r5217850 = r5217829 * r5217849;
        double r5217851 = r5217840 + r5217850;
        double r5217852 = r5217828 * r5217825;
        double r5217853 = exp(r5217852);
        double r5217854 = r5217853 - r5217833;
        double r5217855 = r5217851 * r5217854;
        double r5217856 = r5217835 / r5217855;
        double r5217857 = 1.820560929758688e+21;
        bool r5217858 = r5217825 <= r5217857;
        double r5217859 = r5217828 * r5217828;
        double r5217860 = r5217828 * r5217859;
        double r5217861 = r5217825 * r5217825;
        double r5217862 = r5217825 * r5217861;
        double r5217863 = r5217841 * r5217862;
        double r5217864 = r5217860 * r5217863;
        double r5217865 = r5217859 * r5217838;
        double r5217866 = r5217865 * r5217861;
        double r5217867 = r5217866 + r5217852;
        double r5217868 = r5217864 + r5217867;
        double r5217869 = exp(r5217836);
        double r5217870 = r5217869 - r5217833;
        double r5217871 = r5217868 * r5217870;
        double r5217872 = r5217835 / r5217871;
        double r5217873 = cbrt(r5217834);
        double r5217874 = r5217873 * r5217873;
        double r5217875 = r5217873 * r5217874;
        double r5217876 = r5217828 * r5217875;
        double r5217877 = r5217876 / r5217855;
        double r5217878 = r5217858 ? r5217872 : r5217877;
        double r5217879 = r5217827 ? r5217856 : r5217878;
        return r5217879;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus eps

Target

Original	60.6
Target	14.7
Herbie	52.9

\[\frac{a + b}{a \cdot b}\]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if a < -1.3170485397208287e+36

   1. Initial program 55.3

      \[\frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(e^{b \cdot \varepsilon} - 1\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 49.8

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot b + \left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {b}^{2}\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({\varepsilon}^{3} \cdot {b}^{3}\right)\right)\right)}}\]

   3. Simplified 48.7

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied add-cbrt-cube 49.2

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(b \cdot b\right) \cdot b}}\right)\right) \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]

   6. Applied add-cbrt-cube 49.2

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(b \cdot b\right) \cdot b}} \cdot \sqrt[3]{\left(b \cdot b\right) \cdot b}\right)\right) \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]

   7. Applied cbrt-unprod 50.4

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}}\right) \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]

   8. Applied add-cbrt-cube 50.4

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}\right) \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]

   9. Applied add-cbrt-cube 51.5

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\left(\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}\right) \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]

   10. Applied cbrt-unprod 51.9

       \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}\right) \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]

   11. Applied cbrt-unprod 51.9

       \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)\right)}} \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]

   12. Simplified 46.9

       \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\left(\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot b\right) \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot b\right) \cdot b\right)}} \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]

   if -1.3170485397208287e+36 < a < 1.820560929758688e+21

   1. Initial program 63.9

      \[\frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(e^{b \cdot \varepsilon} - 1\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 56.9

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left({a}^{2} \cdot {\varepsilon}^{2}\right) + \left(\frac{1}{6} \cdot \left({a}^{3} \cdot {\varepsilon}^{3}\right) + a \cdot \varepsilon\right)\right)} \cdot \left(e^{b \cdot \varepsilon} - 1\right)}\]

   3. Simplified 56.9

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\color{blue}{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right) + \left(\varepsilon \cdot a + \left(a \cdot a\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{2}\right)\right)\right)} \cdot \left(e^{b \cdot \varepsilon} - 1\right)}\]

   if 1.820560929758688e+21 < a

   1. Initial program 55.7

      \[\frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(e^{b \cdot \varepsilon} - 1\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 49.5

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot b + \left(\frac{1}{2} \cdot \left({\varepsilon}^{2} \cdot {b}^{2}\right) + \frac{1}{6} \cdot \left({\varepsilon}^{3} \cdot {b}^{3}\right)\right)\right)}}\]

   3. Simplified 48.7

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}}\]
   4. Using strategy rm

   5. Applied add-cbrt-cube 49.0

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(b \cdot b\right) \cdot b}}\right)\right) \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]

   6. Applied add-cbrt-cube 49.0

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(b \cdot b\right) \cdot b}} \cdot \sqrt[3]{\left(b \cdot b\right) \cdot b}\right)\right) \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]

   7. Applied cbrt-unprod 50.3

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \varepsilon\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}}\right) \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]

   8. Applied add-cbrt-cube 50.3

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}\right) \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]

   9. Applied add-cbrt-cube 51.4

      \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\left(\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}\right) \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]

   10. Applied cbrt-unprod 51.8

       \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}\right) \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]

   11. Applied cbrt-unprod 51.8

       \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(\left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)\right)}} \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]

   12. Simplified 46.8

       \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1\right)}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\left(\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot b\right) \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot b\right) \cdot b\right)}} \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]
   13. Using strategy rm

   14. Applied add-cube-cbrt 46.9

       \[\leadsto \frac{\varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1} \cdot \sqrt[3]{e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\left(a + b\right) \cdot \varepsilon} - 1}\right)}}{\left(e^{a \cdot \varepsilon} - 1\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\left(\left(\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \left(\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot b\right) \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \frac{1}{6}\right)\right)\right) \cdot b\right) \cdot b\right)} \cdot b + \left(\left(\left(b \cdot \varepsilon\right) \cdot \left(b \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \varepsilon\right)\right)}\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 52.9

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;a \le -1317048539720828722120007736669241344:\\ \;\;\;\;\frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\varepsilon \cdot \left(a + b\right)} - 1\right)}{\left(\left(\left(\left(\varepsilon \cdot b\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot b\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \varepsilon \cdot b\right) + b \cdot \sqrt[3]{\left(b \cdot \left(b \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(b \cdot \left(b \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(e^{\varepsilon \cdot a} - 1\right)}\\ \mathbf{elif}\;a \le 1820560929758688051200:\\ \;\;\;\;\frac{\varepsilon \cdot \left(e^{\varepsilon \cdot \left(a + b\right)} - 1\right)}{\left(\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \left(a \cdot \left(a \cdot a\right)\right)\right) + \left(\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(a \cdot a\right) + \varepsilon \cdot a\right)\right) \cdot \left(e^{\varepsilon \cdot b} - 1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\varepsilon \cdot \left(\sqrt[3]{e^{\varepsilon \cdot \left(a + b\right)} - 1} \cdot \left(\sqrt[3]{e^{\varepsilon \cdot \left(a + b\right)} - 1} \cdot \sqrt[3]{e^{\varepsilon \cdot \left(a + b\right)} - 1}\right)\right)}{\left(\left(\left(\left(\varepsilon \cdot b\right) \cdot \left(\varepsilon \cdot b\right)\right) \cdot \frac{1}{2} + \varepsilon \cdot b\right) + b \cdot \sqrt[3]{\left(b \cdot \left(b \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \cdot \left(\left(b \cdot \left(b \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\left(\frac{1}{6} \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot \left(e^{\varepsilon \cdot a} - 1\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019192 
(FPCore (a b eps)
  :name "expq3 (problem 3.4.2)"
  :pre (and (< -1.0 eps) (< eps 1.0))

  :herbie-target
  (/ (+ a b) (* a b))

  (/ (* eps (- (exp (* (+ a b) eps)) 1.0)) (* (- (exp (* a eps)) 1.0) (- (exp (* b eps)) 1.0))))