Average Error: 26.4 → 23.9
Time: 10.7s
Precision: 64
\[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
↓
\[\frac{x.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]
\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}
↓
\frac{x.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}
double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r71416 = x_im;
        double r71417 = y_re;
        double r71418 = r71416 * r71417;
        double r71419 = x_re;
        double r71420 = y_im;
        double r71421 = r71419 * r71420;
        double r71422 = r71418 - r71421;
        double r71423 = r71417 * r71417;
        double r71424 = r71420 * r71420;
        double r71425 = r71423 + r71424;
        double r71426 = r71422 / r71425;
        return r71426;
}
↓
double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r71427 = x_im;
        double r71428 = y_re;
        double r71429 = r71428 * r71428;
        double r71430 = y_im;
        double r71431 = r71430 * r71430;
        double r71432 = r71429 + r71431;
        double r71433 = sqrt(r71432);
        double r71434 = r71427 / r71433;
        double r71435 = r71428 / r71433;
        double r71436 = r71434 * r71435;
        double r71437 = r71430 / r71433;
        double r71438 = x_re;
        double r71439 = r71438 / r71433;
        double r71440 = r71437 * r71439;
        double r71441 = r71436 - r71440;
        return r71441;
}

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

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Derivation

  1. Initial program 26.4

    \[\frac{x.im \cdot y.re - x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied div-sub26.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  4. Simplified25.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im} - \frac{x.re \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
  5. Using strategy rm

  6. Applied add-sqr-sqrt25.0

    \[\leadsto \frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im - \frac{x.re \cdot y.im}{\color{blue}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot \sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

  7. Applied times-frac23.8

    \[\leadsto \frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im - \color{blue}{\frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}}\]

  8. Simplified23.8

    \[\leadsto \frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im - \color{blue}{\frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

  9. Simplified23.8

    \[\leadsto \frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im - \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \color{blue}{\frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}}\]
  10. Using strategy rm

  11. Applied *-un-lft-identity23.8

    \[\leadsto \frac{y.re}{\color{blue}{1 \cdot \left(y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im\right)}} \cdot x.im - \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\]

  12. Applied *-un-lft-identity23.8

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot y.re}}{1 \cdot \left(y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im\right)} \cdot x.im - \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\]

  13. Applied times-frac23.8

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{1} \cdot \frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\right)} \cdot x.im - \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\]

  14. Applied associate-*l*23.8

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{1} \cdot \left(\frac{y.re}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \cdot x.im\right)} - \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\]

  15. Simplified25.3

    \[\leadsto \frac{1}{1} \cdot \color{blue}{\frac{x.im \cdot y.re}{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} - \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\]
  16. Using strategy rm

  17. Applied add-sqr-sqrt25.3

    \[\leadsto \frac{1}{1} \cdot \frac{x.im \cdot y.re}{\color{blue}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re} \cdot \sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}} - \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\]

  18. Applied times-frac23.9

    \[\leadsto \frac{1}{1} \cdot \color{blue}{\left(\frac{x.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\right)} - \frac{x.re}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}} \cdot \frac{y.im}{\sqrt{y.im \cdot y.im + y.re \cdot y.re}}\]

  19. Final simplification23.9

    \[\leadsto \frac{x.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{y.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} - \frac{y.im}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019174 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, imaginary part"
  (/ (- (* x.im y.re) (* x.re y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))