Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 20.6 → 0.1

Time: 20.3s

Precision: 64

Math

\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -464704203.059111535549163818359375:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.07512208616047560960637952121032867580652, \frac{y}{z}, \mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, y, x\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;z \le 46621187.154576636850833892822265625:\\ \;\;\;\;x + \frac{y \cdot \mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z, 6.012459259764103336465268512256443500519 + z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.07512208616047560960637952121032867580652, \frac{y}{z}, \mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, y, x\right)\right)\\ \end{array}\]

C

double f(double x, double y, double z) {
        double r15517396 = x;
        double r15517397 = y;
        double r15517398 = z;
        double r15517399 = 0.0692910599291889;
        double r15517400 = r15517398 * r15517399;
        double r15517401 = 0.4917317610505968;
        double r15517402 = r15517400 + r15517401;
        double r15517403 = r15517402 * r15517398;
        double r15517404 = 0.279195317918525;
        double r15517405 = r15517403 + r15517404;
        double r15517406 = r15517397 * r15517405;
        double r15517407 = 6.012459259764103;
        double r15517408 = r15517398 + r15517407;
        double r15517409 = r15517408 * r15517398;
        double r15517410 = 3.350343815022304;
        double r15517411 = r15517409 + r15517410;
        double r15517412 = r15517406 / r15517411;
        double r15517413 = r15517396 + r15517412;
        return r15517413;
}

↓

double f(double x, double y, double z) {
        double r15517414 = z;
        double r15517415 = -464704203.05911154;
        bool r15517416 = r15517414 <= r15517415;
        double r15517417 = 0.07512208616047561;
        double r15517418 = y;
        double r15517419 = r15517418 / r15517414;
        double r15517420 = 0.0692910599291889;
        double r15517421 = x;
        double r15517422 = fma(r15517420, r15517418, r15517421);
        double r15517423 = fma(r15517417, r15517419, r15517422);
        double r15517424 = 46621187.15457664;
        bool r15517425 = r15517414 <= r15517424;
        double r15517426 = 0.4917317610505968;
        double r15517427 = fma(r15517414, r15517420, r15517426);
        double r15517428 = 0.279195317918525;
        double r15517429 = fma(r15517414, r15517427, r15517428);
        double r15517430 = r15517418 * r15517429;
        double r15517431 = 6.012459259764103;
        double r15517432 = r15517431 + r15517414;
        double r15517433 = 3.350343815022304;
        double r15517434 = fma(r15517414, r15517432, r15517433);
        double r15517435 = r15517430 / r15517434;
        double r15517436 = r15517421 + r15517435;
        double r15517437 = r15517425 ? r15517436 : r15517423;
        double r15517438 = r15517416 ? r15517423 : r15517437;
        return r15517438;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	20.6
Target	0.2
Herbie	0.1

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \lt -8120153.6524566747248172760009765625:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047560960637952121032867580652}{z} + 0.06929105992918889456166908757950295694172\right) \cdot y - \left(\frac{0.4046220386999212492717958866705885156989 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \lt 657611897278737678336:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047560960637952121032867580652}{z} + 0.06929105992918889456166908757950295694172\right) \cdot y - \left(\frac{0.4046220386999212492717958866705885156989 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < -464704203.05911154 or 46621187.15457664 < z

   1. Initial program 41.8

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]

   2. Simplified 33.0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, z, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}, y, x\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-exp-log 34.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, z, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\color{blue}{e^{\log \left(\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)\right)}}}, y, x\right)\]

   5. Applied add-exp-log 34.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\color{blue}{e^{\log \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, z, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)\right)}}}{e^{\log \left(\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)\right)}}, y, x\right)\]

   6. Applied div-exp 34.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{e^{\log \left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, z, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)\right) - \log \left(\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)\right)}}, y, x\right)\]

   7. Simplified 33.0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(e^{\color{blue}{\log \left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}\right)}}, y, x\right)\]

   8. Taylor expanded around inf 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{x + \left(0.07512208616047560960637952121032867580652 \cdot \frac{y}{z} + 0.06929105992918889456166908757950295694172 \cdot y\right)}\]

   9. Simplified 0.0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.07512208616047560960637952121032867580652, \frac{y}{z}, \mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, y, x\right)\right)}\]

   if -464704203.05911154 < z < 46621187.15457664

   1. Initial program 0.1

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.06929105992918889456166908757950295694172 + 0.4917317610505967939715787906607147306204\right) \cdot z + 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519\right) \cdot z + 3.350343815022303939343828460550867021084}\]

   2. Simplified 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, z, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}, y, x\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt 0.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, z, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, z, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}}, y, x\right)\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied fma-udef 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, z, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}} \cdot \sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, z, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), z, 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103336465268512256443500519, z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}}\right) \cdot y + x}\]

   7. Simplified 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{y \cdot \mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103336465268512256443500519, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}} + x\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.1

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -464704203.059111535549163818359375:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.07512208616047560960637952121032867580652, \frac{y}{z}, \mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, y, x\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;z \le 46621187.154576636850833892822265625:\\ \;\;\;\;x + \frac{y \cdot \mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.06929105992918889456166908757950295694172, 0.4917317610505967939715787906607147306204\right), 0.2791953179185249767080279070796677842736\right)}{\mathsf{fma}\left(z, 6.012459259764103336465268512256443500519 + z, 3.350343815022303939343828460550867021084\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.07512208616047560960637952121032867580652, \frac{y}{z}, \mathsf{fma}\left(0.06929105992918889456166908757950295694172, y, x\right)\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019174 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1.0 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))