invcot (example 3.9)

Average Error: 59.9 → 0.0

Time: 37.7s

Precision: 64

\[-0.0259999999999999988065102485279567190446 \lt x \land x \lt 0.0259999999999999988065102485279567190446\]

Math

\[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\]

↓

\[\frac{x}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)}{\left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right)}} + 0.002116402116402116544841005563171165704262 \cdot {x}^{5}\]

C

double f(double x) {
        double r9043626 = 1.0;
        double r9043627 = x;
        double r9043628 = r9043626 / r9043627;
        double r9043629 = tan(r9043627);
        double r9043630 = r9043626 / r9043629;
        double r9043631 = r9043628 - r9043630;
        return r9043631;
}

↓

double f(double x) {
        double r9043632 = x;
        double r9043633 = r9043632 * r9043632;
        double r9043634 = 0.022222222222222223;
        double r9043635 = r9043633 * r9043634;
        double r9043636 = r9043635 * r9043635;
        double r9043637 = 0.3333333333333333;
        double r9043638 = r9043637 * r9043637;
        double r9043639 = r9043635 * r9043637;
        double r9043640 = r9043638 - r9043639;
        double r9043641 = r9043636 + r9043640;
        double r9043642 = r9043638 * r9043637;
        double r9043643 = r9043635 * r9043636;
        double r9043644 = r9043642 + r9043643;
        double r9043645 = r9043641 / r9043644;
        double r9043646 = r9043632 / r9043645;
        double r9043647 = 0.0021164021164021165;
        double r9043648 = 5.0;
        double r9043649 = pow(r9043632, r9043648);
        double r9043650 = r9043647 * r9043649;
        double r9043651 = r9043646 + r9043650;
        return r9043651;
}

Error

Bits error versus x

Target

Original	59.9
Target	0.1
Herbie	0.0

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| \lt 0.0259999999999999988065102485279567190446:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3} \cdot \left(1 + \frac{x \cdot x}{15}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Initial program 59.9

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\]

2. Taylor expanded around 0 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot x + \left(0.02222222222222222307030925492199457949027 \cdot {x}^{3} + 0.002116402116402116544841005563171165704262 \cdot {x}^{5}\right)}\]

3. Simplified 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027 + 0.3333333333333333148296162562473909929395\right) + 0.002116402116402116544841005563171165704262 \cdot {x}^{5}}\]
4. Using strategy rm

5. Applied flip3-+ 1.2

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)}^{3} + {0.3333333333333333148296162562473909929395}^{3}}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)}} + 0.002116402116402116544841005563171165704262 \cdot {x}^{5}\]

6. Applied associate-*r/ 1.1

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left({\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)}^{3} + {0.3333333333333333148296162562473909929395}^{3}\right)}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)}} + 0.002116402116402116544841005563171165704262 \cdot {x}^{5}\]

7. Simplified 0.3

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right)\right)}}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)} + 0.002116402116402116544841005563171165704262 \cdot {x}^{5}\]
8. Using strategy rm

9. Applied associate-/l* 0.0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)}{\left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right)}}} + 0.002116402116402116544841005563171165704262 \cdot {x}^{5}\]

10. Final simplification 0.0

    \[\leadsto \frac{x}{\frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) + \left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right)}{\left(0.3333333333333333148296162562473909929395 \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395\right) \cdot 0.3333333333333333148296162562473909929395 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.02222222222222222307030925492199457949027\right)\right)}} + 0.002116402116402116544841005563171165704262 \cdot {x}^{5}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019173 
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))