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Time: 18.4s
Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -9.439166578523512274653878650896323414939 \cdot 10^{-151}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \le -4.032427712052753832724847291903676224469 \cdot 10^{-269}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;im \le 3.878426650942859959181735975108696171678 \cdot 10^{-204}:\\ \;\;\;\;0\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.718871584992604186570063234119900444233 \cdot 10^{-165}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.372553746184739962861800392089830190296 \cdot 10^{91}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \le -9.439166578523512274653878650896323414939 \cdot 10^{-151}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\

\mathbf{elif}\;im \le -4.032427712052753832724847291903676224469 \cdot 10^{-269}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot re}\\

\mathbf{elif}\;im \le 3.878426650942859959181735975108696171678 \cdot 10^{-204}:\\
\;\;\;\;0\\

\mathbf{elif}\;im \le 1.718871584992604186570063234119900444233 \cdot 10^{-165}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot re}\\

\mathbf{elif}\;im \le 1.372553746184739962861800392089830190296 \cdot 10^{91}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) + re\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r8857231 = 0.5;
        double r8857232 = 2.0;
        double r8857233 = re;
        double r8857234 = r8857233 * r8857233;
        double r8857235 = im;
        double r8857236 = r8857235 * r8857235;
        double r8857237 = r8857234 + r8857236;
        double r8857238 = sqrt(r8857237);
        double r8857239 = r8857238 + r8857233;
        double r8857240 = r8857232 * r8857239;
        double r8857241 = sqrt(r8857240);
        double r8857242 = r8857231 * r8857241;
        return r8857242;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r8857243 = im;
        double r8857244 = -9.439166578523512e-151;
        bool r8857245 = r8857243 <= r8857244;
        double r8857246 = 0.5;
        double r8857247 = 2.0;
        double r8857248 = r8857243 * r8857243;
        double r8857249 = r8857247 * r8857248;
        double r8857250 = re;
        double r8857251 = r8857250 * r8857250;
        double r8857252 = r8857248 + r8857251;
        double r8857253 = sqrt(r8857252);
        double r8857254 = r8857253 - r8857250;
        double r8857255 = r8857249 / r8857254;
        double r8857256 = sqrt(r8857255);
        double r8857257 = r8857246 * r8857256;
        double r8857258 = -4.032427712052754e-269;
        bool r8857259 = r8857243 <= r8857258;
        double r8857260 = 4.0;
        double r8857261 = r8857260 * r8857250;
        double r8857262 = sqrt(r8857261);
        double r8857263 = r8857246 * r8857262;
        double r8857264 = 3.87842665094286e-204;
        bool r8857265 = r8857243 <= r8857264;
        double r8857266 = 0.0;
        double r8857267 = 1.7188715849926042e-165;
        bool r8857268 = r8857243 <= r8857267;
        double r8857269 = 1.37255374618474e+91;
        bool r8857270 = r8857243 <= r8857269;
        double r8857271 = sqrt(r8857253);
        double r8857272 = sqrt(r8857271);
        double r8857273 = r8857272 * r8857272;
        double r8857274 = r8857273 * r8857273;
        double r8857275 = r8857274 + r8857250;
        double r8857276 = r8857247 * r8857275;
        double r8857277 = sqrt(r8857276);
        double r8857278 = r8857246 * r8857277;
        double r8857279 = r8857243 + r8857250;
        double r8857280 = r8857279 * r8857247;
        double r8857281 = sqrt(r8857280);
        double r8857282 = r8857281 * r8857246;
        double r8857283 = r8857270 ? r8857278 : r8857282;
        double r8857284 = r8857268 ? r8857263 : r8857283;
        double r8857285 = r8857265 ? r8857266 : r8857284;
        double r8857286 = r8857259 ? r8857263 : r8857285;
        double r8857287 = r8857245 ? r8857257 : r8857286;
        return r8857287;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.9
Target32.7
Herbie31.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if im < -9.439166578523512e-151

    1. Initial program 36.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+41.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/41.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Simplified36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\frac{\color{blue}{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -9.439166578523512e-151 < im < -4.032427712052754e-269 or 3.87842665094286e-204 < im < 1.7188715849926042e-165

    1. Initial program 41.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{4 \cdot re}}\]

    if -4.032427712052754e-269 < im < 3.87842665094286e-204

    1. Initial program 42.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 49.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{0}}\]

    if 1.7188715849926042e-165 < im < 1.37255374618474e+91

    1. Initial program 25.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt25.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod25.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-sqr-sqrt25.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod25.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod25.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} + re\right)}\]

    9. Applied add-sqr-sqrt25.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) + re\right)}\]

    10. Applied sqrt-prod25.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) + re\right)}\]

    11. Applied sqrt-prod26.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) + re\right)}\]

    12. Applied swap-sqr26.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} + re\right)}\]

    if 1.37255374618474e+91 < im

    1. Initial program 49.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 10.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification31.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -9.439166578523512274653878650896323414939 \cdot 10^{-151}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \le -4.032427712052753832724847291903676224469 \cdot 10^{-269}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;im \le 3.878426650942859959181735975108696171678 \cdot 10^{-204}:\\ \;\;\;\;0\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.718871584992604186570063234119900444233 \cdot 10^{-165}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{4 \cdot re}\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.372553746184739962861800392089830190296 \cdot 10^{91}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) + re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(im + re\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019172 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))