math.cube on complex, real part

Average Error: 7.1 → 0.7

Time: 18.4s

Precision: 64

Math

\[\left(x.re \cdot x.re - x.im \cdot x.im\right) \cdot x.re - \left(x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re\right) \cdot x.im\]

↓

\[\left(\left(x.re - x.im\right) \cdot x.re\right) \cdot \left(x.im + x.re\right) - \left(x.im \cdot \sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.re \cdot x.im}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.re \cdot x.im} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.re \cdot x.im} \cdot \sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.re \cdot x.im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.re \cdot x.im}}\right)\right)\]

C

double f(double x_re, double x_im) {
        double r6395030 = x_re;
        double r6395031 = r6395030 * r6395030;
        double r6395032 = x_im;
        double r6395033 = r6395032 * r6395032;
        double r6395034 = r6395031 - r6395033;
        double r6395035 = r6395034 * r6395030;
        double r6395036 = r6395030 * r6395032;
        double r6395037 = r6395032 * r6395030;
        double r6395038 = r6395036 + r6395037;
        double r6395039 = r6395038 * r6395032;
        double r6395040 = r6395035 - r6395039;
        return r6395040;
}

↓

double f(double x_re, double x_im) {
        double r6395041 = x_re;
        double r6395042 = x_im;
        double r6395043 = r6395041 - r6395042;
        double r6395044 = r6395043 * r6395041;
        double r6395045 = r6395042 + r6395041;
        double r6395046 = r6395044 * r6395045;
        double r6395047 = r6395041 * r6395042;
        double r6395048 = r6395047 + r6395047;
        double r6395049 = cbrt(r6395048);
        double r6395050 = r6395042 * r6395049;
        double r6395051 = r6395049 * r6395049;
        double r6395052 = cbrt(r6395051);
        double r6395053 = cbrt(r6395049);
        double r6395054 = r6395052 * r6395053;
        double r6395055 = r6395049 * r6395054;
        double r6395056 = r6395050 * r6395055;
        double r6395057 = r6395046 - r6395056;
        return r6395057;
}

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Target

Original	7.1
Target	0.3
Herbie	0.7

\[\left(x.re \cdot x.re\right) \cdot \left(x.re - x.im\right) + \left(x.re \cdot x.im\right) \cdot \left(x.re - 3 \cdot x.im\right)\]

Derivation

1. Initial program 7.1

   \[\left(x.re \cdot x.re - x.im \cdot x.im\right) \cdot x.re - \left(x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re\right) \cdot x.im\]
2. Using strategy rm

3. Applied difference-of-squares 7.1

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x.re + x.im\right) \cdot \left(x.re - x.im\right)\right)} \cdot x.re - \left(x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re\right) \cdot x.im\]

4. Applied associate-*l* 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x.re + x.im\right) \cdot \left(\left(x.re - x.im\right) \cdot x.re\right)} - \left(x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re\right) \cdot x.im\]
5. Using strategy rm

6. Applied add-cube-cbrt 0.6

   \[\leadsto \left(x.re + x.im\right) \cdot \left(\left(x.re - x.im\right) \cdot x.re\right) - \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re} \cdot \sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re}\right) \cdot \sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re}\right)} \cdot x.im\]

7. Applied associate-*l* 0.6

   \[\leadsto \left(x.re + x.im\right) \cdot \left(\left(x.re - x.im\right) \cdot x.re\right) - \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re} \cdot \sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re} \cdot x.im\right)}\]
8. Using strategy rm

9. Applied add-cube-cbrt 0.6

   \[\leadsto \left(x.re + x.im\right) \cdot \left(\left(x.re - x.im\right) \cdot x.re\right) - \left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re} \cdot \sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re}\right) \cdot \sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re}}} \cdot \sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re} \cdot x.im\right)\]

10. Applied cbrt-prod 0.7

    \[\leadsto \left(x.re + x.im\right) \cdot \left(\left(x.re - x.im\right) \cdot x.re\right) - \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re} \cdot \sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re}}\right)} \cdot \sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.im \cdot x.re} \cdot x.im\right)\]

11. Final simplification 0.7

    \[\leadsto \left(\left(x.re - x.im\right) \cdot x.re\right) \cdot \left(x.im + x.re\right) - \left(x.im \cdot \sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.re \cdot x.im}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.re \cdot x.im} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.re \cdot x.im} \cdot \sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.re \cdot x.im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x.re \cdot x.im + x.re \cdot x.im}}\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019172 +o rules:numerics
(FPCore (x.re x.im)
  :name "math.cube on complex, real part"

  :herbie-target
  (+ (* (* x.re x.re) (- x.re x.im)) (* (* x.re x.im) (- x.re (* 3.0 x.im))))

  (- (* (- (* x.re x.re) (* x.im x.im)) x.re) (* (+ (* x.re x.im) (* x.im x.re)) x.im)))