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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.068119423833978984840227635022917539221 \cdot 10^{103}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.716500442899428778049444003015278997895 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|\right) - re} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|\right) - re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|\right) - re}\right)\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re} \cdot 2}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -2.068119423833978984840227635022917539221 \cdot 10^{103}:\\
\;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\

\mathbf{elif}\;re \le -1.716500442899428778049444003015278997895 \cdot 10^{-305}:\\
\;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|\right) - re} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|\right) - re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|\right) - re}\right)\right)} \cdot 0.5\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re} \cdot 2}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r956719 = 0.5;
        double r956720 = 2.0;
        double r956721 = re;
        double r956722 = r956721 * r956721;
        double r956723 = im;
        double r956724 = r956723 * r956723;
        double r956725 = r956722 + r956724;
        double r956726 = sqrt(r956725);
        double r956727 = r956726 - r956721;
        double r956728 = r956720 * r956727;
        double r956729 = sqrt(r956728);
        double r956730 = r956719 * r956729;
        return r956730;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r956731 = re;
        double r956732 = -2.068119423833979e+103;
        bool r956733 = r956731 <= r956732;
        double r956734 = -2.0;
        double r956735 = r956734 * r956731;
        double r956736 = 2.0;
        double r956737 = r956735 * r956736;
        double r956738 = sqrt(r956737);
        double r956739 = 0.5;
        double r956740 = r956738 * r956739;
        double r956741 = -1.7165004428994288e-305;
        bool r956742 = r956731 <= r956741;
        double r956743 = im;
        double r956744 = r956743 * r956743;
        double r956745 = r956731 * r956731;
        double r956746 = r956744 + r956745;
        double r956747 = sqrt(r956746);
        double r956748 = cbrt(r956747);
        double r956749 = sqrt(r956748);
        double r956750 = cbrt(r956746);
        double r956751 = fabs(r956750);
        double r956752 = r956749 * r956751;
        double r956753 = r956749 * r956752;
        double r956754 = r956753 - r956731;
        double r956755 = cbrt(r956754);
        double r956756 = r956755 * r956755;
        double r956757 = r956755 * r956756;
        double r956758 = r956736 * r956757;
        double r956759 = sqrt(r956758);
        double r956760 = r956759 * r956739;
        double r956761 = r956747 + r956731;
        double r956762 = r956744 / r956761;
        double r956763 = r956762 * r956736;
        double r956764 = sqrt(r956763);
        double r956765 = r956739 * r956764;
        double r956766 = r956742 ? r956760 : r956765;
        double r956767 = r956733 ? r956740 : r956766;
        return r956767;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -2.068119423833979e+103

    1. Initial program 52.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 10.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if -2.068119423833979e+103 < re < -1.7165004428994288e-305

    1. Initial program 20.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt20.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod20.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} - re\right)}\]

    5. Simplified20.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re\right)}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied add-sqr-sqrt20.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right)}\]

    8. Applied cbrt-prod20.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right)}\]

    9. Applied sqrt-prod20.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} - re\right)}\]

    10. Applied associate-*r*20.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} - re\right)}\]
    11. Using strategy rm

    12. Applied add-cube-cbrt21.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re} \cdot \sqrt[3]{\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} - re}\right)}}\]

    if -1.7165004428994288e-305 < re

    1. Initial program 45.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--45.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Simplified35.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification26.5

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -2.068119423833978984840227635022917539221 \cdot 10^{103}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(-2 \cdot re\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;re \le -1.716500442899428778049444003015278997895 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|\right) - re} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|\right) - re} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right|\right) - re}\right)\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} + re} \cdot 2}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019172 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))