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Time: 14.2s
Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -9.439166578523512274653878650896323414939 \cdot 10^{-151}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le -4.032427712052753832724847291903676224469 \cdot 10^{-269}:\\ \;\;\;\;\sqrt{4 \cdot re} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 3.878426650942859959181735975108696171678 \cdot 10^{-204}:\\ \;\;\;\;0\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.718871584992604186570063234119900444233 \cdot 10^{-165}:\\ \;\;\;\;\sqrt{4 \cdot re} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.372553746184739962861800392089830190296 \cdot 10^{91}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) + re\right) \cdot 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)} \cdot 0.5\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \le -9.439166578523512274653878650896323414939 \cdot 10^{-151}:\\
\;\;\;\;\sqrt{\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 0.5\\

\mathbf{elif}\;im \le -4.032427712052753832724847291903676224469 \cdot 10^{-269}:\\
\;\;\;\;\sqrt{4 \cdot re} \cdot 0.5\\

\mathbf{elif}\;im \le 3.878426650942859959181735975108696171678 \cdot 10^{-204}:\\
\;\;\;\;0\\

\mathbf{elif}\;im \le 1.718871584992604186570063234119900444233 \cdot 10^{-165}:\\
\;\;\;\;\sqrt{4 \cdot re} \cdot 0.5\\

\mathbf{elif}\;im \le 1.372553746184739962861800392089830190296 \cdot 10^{91}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) + re\right) \cdot 2}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)} \cdot 0.5\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r6138554 = 0.5;
        double r6138555 = 2.0;
        double r6138556 = re;
        double r6138557 = r6138556 * r6138556;
        double r6138558 = im;
        double r6138559 = r6138558 * r6138558;
        double r6138560 = r6138557 + r6138559;
        double r6138561 = sqrt(r6138560);
        double r6138562 = r6138561 + r6138556;
        double r6138563 = r6138555 * r6138562;
        double r6138564 = sqrt(r6138563);
        double r6138565 = r6138554 * r6138564;
        return r6138565;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r6138566 = im;
        double r6138567 = -9.439166578523512e-151;
        bool r6138568 = r6138566 <= r6138567;
        double r6138569 = r6138566 * r6138566;
        double r6138570 = 2.0;
        double r6138571 = r6138569 * r6138570;
        double r6138572 = re;
        double r6138573 = r6138572 * r6138572;
        double r6138574 = r6138569 + r6138573;
        double r6138575 = sqrt(r6138574);
        double r6138576 = r6138575 - r6138572;
        double r6138577 = r6138571 / r6138576;
        double r6138578 = sqrt(r6138577);
        double r6138579 = 0.5;
        double r6138580 = r6138578 * r6138579;
        double r6138581 = -4.032427712052754e-269;
        bool r6138582 = r6138566 <= r6138581;
        double r6138583 = 4.0;
        double r6138584 = r6138583 * r6138572;
        double r6138585 = sqrt(r6138584);
        double r6138586 = r6138585 * r6138579;
        double r6138587 = 3.87842665094286e-204;
        bool r6138588 = r6138566 <= r6138587;
        double r6138589 = 0.0;
        double r6138590 = 1.7188715849926042e-165;
        bool r6138591 = r6138566 <= r6138590;
        double r6138592 = 1.37255374618474e+91;
        bool r6138593 = r6138566 <= r6138592;
        double r6138594 = sqrt(r6138575);
        double r6138595 = sqrt(r6138594);
        double r6138596 = r6138595 * r6138595;
        double r6138597 = r6138596 * r6138596;
        double r6138598 = r6138597 + r6138572;
        double r6138599 = r6138598 * r6138570;
        double r6138600 = sqrt(r6138599);
        double r6138601 = r6138579 * r6138600;
        double r6138602 = r6138566 + r6138572;
        double r6138603 = r6138570 * r6138602;
        double r6138604 = sqrt(r6138603);
        double r6138605 = r6138604 * r6138579;
        double r6138606 = r6138593 ? r6138601 : r6138605;
        double r6138607 = r6138591 ? r6138586 : r6138606;
        double r6138608 = r6138588 ? r6138589 : r6138607;
        double r6138609 = r6138582 ? r6138586 : r6138608;
        double r6138610 = r6138568 ? r6138580 : r6138609;
        return r6138610;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.9
Target32.7
Herbie31.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0.0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if im < -9.439166578523512e-151

    1. Initial program 36.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+41.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/41.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Simplified36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\frac{\color{blue}{2 \cdot \left(im \cdot im + 0\right)}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -9.439166578523512e-151 < im < -4.032427712052754e-269 or 3.87842665094286e-204 < im < 1.7188715849926042e-165

    1. Initial program 41.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 36.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{4 \cdot re}}\]

    if -4.032427712052754e-269 < im < 3.87842665094286e-204

    1. Initial program 42.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 49.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{0}}\]

    if 1.7188715849926042e-165 < im < 1.37255374618474e+91

    1. Initial program 25.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt25.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod25.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-sqr-sqrt25.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod25.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} + re\right)}\]

    8. Applied sqrt-prod25.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} + re\right)}\]

    9. Applied add-sqr-sqrt25.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) + re\right)}\]

    10. Applied sqrt-prod25.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) + re\right)}\]

    11. Applied sqrt-prod26.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) + re\right)}\]

    12. Applied swap-sqr26.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)} + re\right)}\]

    if 1.37255374618474e+91 < im

    1. Initial program 49.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt49.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod49.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    5. Taylor expanded around 0 10.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification31.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -9.439166578523512274653878650896323414939 \cdot 10^{-151}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le -4.032427712052753832724847291903676224469 \cdot 10^{-269}:\\ \;\;\;\;\sqrt{4 \cdot re} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 3.878426650942859959181735975108696171678 \cdot 10^{-204}:\\ \;\;\;\;0\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.718871584992604186570063234119900444233 \cdot 10^{-165}:\\ \;\;\;\;\sqrt{4 \cdot re} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.372553746184739962861800392089830190296 \cdot 10^{91}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) + re\right) \cdot 2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019172 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))