Numeric.SpecFunctions:$slogFactorial from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 6.0 → 2.0

Time: 23.9s

Precision: 64

Math

\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \frac{\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot z + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 81021117484521324806144:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-x, 1, x\right) + \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right) + \frac{\mathsf{fma}\left(z \cdot \left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321, z, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right)\\ \mathbf{elif}\;x \le 3.193230357620251955680275402365909698287 \cdot 10^{177}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{z \cdot z}{x}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \mathsf{fma}\left(\frac{z \cdot z}{x}, y, \log x \cdot x\right) - x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right) + \left(\mathsf{fma}\left(\frac{\frac{z}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{x}}{z}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321 \cdot \frac{z}{x}\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x\right)\\ \end{array}\]

C

double f(double x, double y, double z) {
        double r16529876 = x;
        double r16529877 = 0.5;
        double r16529878 = r16529876 - r16529877;
        double r16529879 = log(r16529876);
        double r16529880 = r16529878 * r16529879;
        double r16529881 = r16529880 - r16529876;
        double r16529882 = 0.91893853320467;
        double r16529883 = r16529881 + r16529882;
        double r16529884 = y;
        double r16529885 = 0.0007936500793651;
        double r16529886 = r16529884 + r16529885;
        double r16529887 = z;
        double r16529888 = r16529886 * r16529887;
        double r16529889 = 0.0027777777777778;
        double r16529890 = r16529888 - r16529889;
        double r16529891 = r16529890 * r16529887;
        double r16529892 = 0.083333333333333;
        double r16529893 = r16529891 + r16529892;
        double r16529894 = r16529893 / r16529876;
        double r16529895 = r16529883 + r16529894;
        return r16529895;
}

↓

double f(double x, double y, double z) {
        double r16529896 = x;
        double r16529897 = 8.102111748452132e+22;
        bool r16529898 = r16529896 <= r16529897;
        double r16529899 = -r16529896;
        double r16529900 = 1.0;
        double r16529901 = fma(r16529899, r16529900, r16529896);
        double r16529902 = 0.5;
        double r16529903 = r16529896 - r16529902;
        double r16529904 = log(r16529896);
        double r16529905 = 0.91893853320467;
        double r16529906 = r16529905 - r16529896;
        double r16529907 = z;
        double r16529908 = 0.0007936500793651;
        double r16529909 = y;
        double r16529910 = r16529908 + r16529909;
        double r16529911 = r16529907 * r16529910;
        double r16529912 = 0.0027777777777778;
        double r16529913 = r16529911 - r16529912;
        double r16529914 = 0.083333333333333;
        double r16529915 = fma(r16529913, r16529907, r16529914);
        double r16529916 = r16529915 / r16529896;
        double r16529917 = r16529906 + r16529916;
        double r16529918 = fma(r16529903, r16529904, r16529917);
        double r16529919 = r16529901 + r16529918;
        double r16529920 = 3.193230357620252e+177;
        bool r16529921 = r16529896 <= r16529920;
        double r16529922 = r16529907 * r16529907;
        double r16529923 = r16529922 / r16529896;
        double r16529924 = r16529904 * r16529896;
        double r16529925 = fma(r16529923, r16529909, r16529924);
        double r16529926 = r16529925 - r16529896;
        double r16529927 = fma(r16529923, r16529908, r16529926);
        double r16529928 = sqrt(r16529896);
        double r16529929 = r16529907 / r16529928;
        double r16529930 = r16529928 / r16529907;
        double r16529931 = r16529929 / r16529930;
        double r16529932 = r16529914 / r16529896;
        double r16529933 = fma(r16529931, r16529908, r16529932);
        double r16529934 = r16529907 / r16529896;
        double r16529935 = r16529912 * r16529934;
        double r16529936 = r16529933 - r16529935;
        double r16529937 = r16529906 + r16529936;
        double r16529938 = fma(r16529903, r16529904, r16529937);
        double r16529939 = r16529938 + r16529901;
        double r16529940 = r16529921 ? r16529927 : r16529939;
        double r16529941 = r16529898 ? r16529919 : r16529940;
        return r16529941;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	6.0
Target	1.2
Herbie	2.0

\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)\right) + \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) + \frac{z}{x} \cdot \left(z \cdot \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right)\]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < 8.102111748452132e+22

   1. Initial program 0.2

      \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \frac{\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot z + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\]

   2. Simplified 0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied *-un-lft-identity 0.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - \color{blue}{1 \cdot x}\right)\]

   5. Applied add-sqr-sqrt 0.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) + \left(\color{blue}{\sqrt{0.9189385332046700050057097541866824030876} \cdot \sqrt{0.9189385332046700050057097541866824030876}} - 1 \cdot x\right)\]

   6. Applied prod-diff 0.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt{0.9189385332046700050057097541866824030876}, \sqrt{0.9189385332046700050057097541866824030876}, -x \cdot 1\right) + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x \cdot 1\right)\right)}\]

   7. Applied associate-+r+ 0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) + \mathsf{fma}\left(\sqrt{0.9189385332046700050057097541866824030876}, \sqrt{0.9189385332046700050057097541866824030876}, -x \cdot 1\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x \cdot 1\right)}\]

   8. Simplified 0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \frac{\mathsf{fma}\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, z, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x} + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)\right)} + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x \cdot 1\right)\]

   if 8.102111748452132e+22 < x < 3.193230357620252e+177

   1. Initial program 7.2

      \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \frac{\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot z + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\]

   2. Simplified 7.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)}\]

   3. Taylor expanded around inf 7.2

      \[\leadsto \color{blue}{\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} \cdot \frac{{z}^{2}}{x} + \frac{{z}^{2} \cdot y}{x}\right) - \left(x + x \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right)\right)}\]

   4. Simplified 4.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{z \cdot z}{x}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \mathsf{fma}\left(\frac{z \cdot z}{x}, y, x \cdot \log x\right) - x\right)}\]

   if 3.193230357620252e+177 < x

   1. Initial program 14.0

      \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.9189385332046700050057097541866824030876\right) + \frac{\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321\right) \cdot z + 0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\]

   2. Simplified 14.0

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied *-un-lft-identity 14.0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - \color{blue}{1 \cdot x}\right)\]

   5. Applied add-sqr-sqrt 14.0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) + \left(\color{blue}{\sqrt{0.9189385332046700050057097541866824030876} \cdot \sqrt{0.9189385332046700050057097541866824030876}} - 1 \cdot x\right)\]

   6. Applied prod-diff 14.0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) + \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt{0.9189385332046700050057097541866824030876}, \sqrt{0.9189385332046700050057097541866824030876}, -x \cdot 1\right) + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x \cdot 1\right)\right)}\]

   7. Applied associate-+r+ 14.0

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\log x, x - 0.5, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right) + \mathsf{fma}\left(\sqrt{0.9189385332046700050057097541866824030876}, \sqrt{0.9189385332046700050057097541866824030876}, -x \cdot 1\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x \cdot 1\right)}\]

   8. Simplified 13.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \frac{\mathsf{fma}\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, z, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x} + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)\right)} + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x \cdot 1\right)\]
   9. Using strategy rm

   10. Applied add-sqr-sqrt 13.9

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \frac{\mathsf{fma}\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, z, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}} + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x \cdot 1\right)\]

   11. Applied associate-/r* 13.9

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(y + 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}\right) \cdot z - 0.002777777777777800001512975569539776188321, z, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}} + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x \cdot 1\right)\]

   12. Taylor expanded around 0 10.6

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \color{blue}{\left(\left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} \cdot \frac{{z}^{2}}{x} + 0.08333333333333299564049667651488562114537 \cdot \frac{1}{x}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321 \cdot \frac{z}{x}\right)} + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x \cdot 1\right)\]

   13. Simplified 2.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\frac{z}{\frac{x}{z}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321 \cdot \frac{z}{x}\right)} + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x \cdot 1\right)\]
   14. Using strategy rm

   15. Applied *-un-lft-identity 2.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \left(\mathsf{fma}\left(\frac{z}{\frac{x}{\color{blue}{1 \cdot z}}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321 \cdot \frac{z}{x}\right) + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x \cdot 1\right)\]

   16. Applied add-sqr-sqrt 2.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \left(\mathsf{fma}\left(\frac{z}{\frac{\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}}{1 \cdot z}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321 \cdot \frac{z}{x}\right) + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x \cdot 1\right)\]

   17. Applied times-frac 2.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \left(\mathsf{fma}\left(\frac{z}{\color{blue}{\frac{\sqrt{x}}{1} \cdot \frac{\sqrt{x}}{z}}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321 \cdot \frac{z}{x}\right) + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x \cdot 1\right)\]

   18. Applied associate-/r* 2.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \left(\mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\frac{z}{\frac{\sqrt{x}}{1}}}{\frac{\sqrt{x}}{z}}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321 \cdot \frac{z}{x}\right) + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x \cdot 1\right)\]

   19. Simplified 2.4

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \left(\mathsf{fma}\left(\frac{\color{blue}{\frac{z}{\sqrt{x}}}}{\frac{\sqrt{x}}{z}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321 \cdot \frac{z}{x}\right) + \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x \cdot 1\right)\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 2.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \le 81021117484521324806144:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(-x, 1, x\right) + \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right) + \frac{\mathsf{fma}\left(z \cdot \left(7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4} + y\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321, z, 0.08333333333333299564049667651488562114537\right)}{x}\right)\\ \mathbf{elif}\;x \le 3.193230357620251955680275402365909698287 \cdot 10^{177}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{z \cdot z}{x}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \mathsf{fma}\left(\frac{z \cdot z}{x}, y, \log x \cdot x\right) - x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, \left(0.9189385332046700050057097541866824030876 - x\right) + \left(\mathsf{fma}\left(\frac{\frac{z}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{x}}{z}}, 7.936500793651000149400709382518925849581 \cdot 10^{-4}, \frac{0.08333333333333299564049667651488562114537}{x}\right) - 0.002777777777777800001512975569539776188321 \cdot \frac{z}{x}\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-x, 1, x\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019171 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:$slogFactorial from math-functions-0.1.5.2, B"

  :herbie-target
  (+ (+ (+ (* (- x 0.5) (log x)) (- 0.91893853320467 x)) (/ 0.083333333333333 x)) (* (/ z x) (- (* z (+ y 0.0007936500793651)) 0.0027777777777778)))

  (+ (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467) (/ (+ (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z) 0.083333333333333) x)))