Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)

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Precision: 64

Math

\[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

↓

\[\left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{\frac{\frac{1 - v \cdot \left(v \cdot 5\right)}{\pi}}{\left(1 \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\left(1 \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot 2} \cdot \left(1 \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{t} \cdot \left(\left(1 \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot 1 + \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right)\right)\]

C

double f(double v, double t) {
        double r10276611 = 1.0;
        double r10276612 = 5.0;
        double r10276613 = v;
        double r10276614 = r10276613 * r10276613;
        double r10276615 = r10276612 * r10276614;
        double r10276616 = r10276611 - r10276615;
        double r10276617 = atan2(1.0, 0.0);
        double r10276618 = t;
        double r10276619 = r10276617 * r10276618;
        double r10276620 = 2.0;
        double r10276621 = 3.0;
        double r10276622 = r10276621 * r10276614;
        double r10276623 = r10276611 - r10276622;
        double r10276624 = r10276620 * r10276623;
        double r10276625 = sqrt(r10276624);
        double r10276626 = r10276619 * r10276625;
        double r10276627 = r10276611 - r10276614;
        double r10276628 = r10276626 * r10276627;
        double r10276629 = r10276616 / r10276628;
        return r10276629;
}

↓

double f(double v, double t) {
        double r10276630 = 1.0;
        double r10276631 = r10276630 * r10276630;
        double r10276632 = v;
        double r10276633 = r10276632 * r10276632;
        double r10276634 = r10276633 * r10276630;
        double r10276635 = r10276633 * r10276633;
        double r10276636 = r10276634 + r10276635;
        double r10276637 = r10276631 + r10276636;
        double r10276638 = 5.0;
        double r10276639 = r10276632 * r10276638;
        double r10276640 = r10276632 * r10276639;
        double r10276641 = r10276630 - r10276640;
        double r10276642 = atan2(1.0, 0.0);
        double r10276643 = r10276641 / r10276642;
        double r10276644 = r10276630 * r10276631;
        double r10276645 = r10276635 * r10276633;
        double r10276646 = r10276644 - r10276645;
        double r10276647 = 3.0;
        double r10276648 = r10276647 * r10276633;
        double r10276649 = r10276648 * r10276648;
        double r10276650 = r10276649 * r10276648;
        double r10276651 = r10276644 - r10276650;
        double r10276652 = 2.0;
        double r10276653 = r10276651 * r10276652;
        double r10276654 = sqrt(r10276653);
        double r10276655 = r10276644 + r10276645;
        double r10276656 = r10276654 * r10276655;
        double r10276657 = r10276646 * r10276656;
        double r10276658 = r10276643 / r10276657;
        double r10276659 = t;
        double r10276660 = r10276658 / r10276659;
        double r10276661 = r10276648 * r10276630;
        double r10276662 = r10276661 + r10276649;
        double r10276663 = r10276631 + r10276662;
        double r10276664 = sqrt(r10276663);
        double r10276665 = r10276655 * r10276664;
        double r10276666 = r10276660 * r10276665;
        double r10276667 = r10276637 * r10276666;
        return r10276667;
}

Error

Bits error versus v

Bits error versus t

Derivation

1. Initial program 0.4

   \[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
2. Using strategy rm

3. Applied flip3-- 0.4

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}\]

4. Applied associate-*r/ 0.4

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}\]

5. Applied associate-/r/ 0.4

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\]

6. Simplified 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{t}}{\sqrt{\left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot 2} \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\]
7. Using strategy rm

8. Applied associate-/l/ 0.3

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{\left(\sqrt{\left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot 2} \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot t}} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\]
9. Using strategy rm

10. Applied flip-- 0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{\left(\sqrt{\left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot 2} \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1\right) - \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}}\right) \cdot t} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\]

11. Applied flip3-- 0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{{1}^{3} - {\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}} \cdot 2} \cdot \frac{\left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1\right) - \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot t} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\]

12. Applied associate-*l/ 0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{\left(\sqrt{\color{blue}{\frac{\left({1}^{3} - {\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}\right) \cdot 2}{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}} \cdot \frac{\left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1\right) - \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot t} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\]

13. Applied sqrt-div 0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{\left(\color{blue}{\frac{\sqrt{\left({1}^{3} - {\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}\right) \cdot 2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}} \cdot \frac{\left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1\right) - \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)}\right) \cdot t} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\]

14. Applied frac-times 0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\left({1}^{3} - {\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}\right) \cdot 2} \cdot \left(\left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1\right) - \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}} \cdot t} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\]

15. Applied associate-*l/ 0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{\color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\left({1}^{3} - {\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}\right) \cdot 2} \cdot \left(\left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1\right) - \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right) \cdot t}{\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\]

16. Applied associate-/r/ 0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\pi}}{\left(\sqrt{\left({1}^{3} - {\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}\right) \cdot 2} \cdot \left(\left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1\right) - \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right) \cdot t} \cdot \left(\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\]

17. Simplified 0.1

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{\frac{\frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{\pi}}{\left(\sqrt{\left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right) \cdot 2} \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}{t}} \cdot \left(\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \left(\left(1 \cdot 1\right) \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right) \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\]

18. Final simplification 0.1

    \[\leadsto \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 1 + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(\frac{\frac{\frac{1 - v \cdot \left(v \cdot 5\right)}{\pi}}{\left(1 \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\left(1 \cdot \left(1 \cdot 1\right) - \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot 2} \cdot \left(1 \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{t} \cdot \left(\left(1 \cdot \left(1 \cdot 1\right) + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot 1 + \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019171 
(FPCore (v t)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)"
  (/ (- 1.0 (* 5.0 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2.0 (- 1.0 (* 3.0 (* v v)))))) (- 1.0 (* v v)))))