math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch

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Time: 14.7s

Precision: 64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -1.830593939920810112608139818514622745005 \cdot 10^{158}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(-\left(re + im\right)\right) \cdot 2}\\ \mathbf{elif}\;im \le -1.229710331229253200153366570596649446976 \cdot 10^{117}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\left|im\right| \cdot \frac{\left|im\right|}{re + re}\right) \cdot 2}\\ \mathbf{elif}\;im \le -9.390513393497782190380660056887968197315 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\frac{\sqrt{\left|im\right|}}{\sqrt{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left|im\right|\right) \cdot \frac{\sqrt{\left|im\right|}}{\sqrt{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.032556161458273784812719104349678483108 \cdot 10^{-163}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re \cdot -2\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 69391599698798919680:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\\ \mathbf{elif}\;im \le 2580378641751245051012166718410719232:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re \cdot -2\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 8.312232129912929054540202378596483167996 \cdot 10^{97}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\left(\left(\sqrt[3]{\frac{\left|im\right|}{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\left|im\right|}{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) \cdot \left|im\right|\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\left|im\right|}{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\frac{\left|im\right|}{re + im} \cdot \left|im\right|\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

C

double f(double re, double im) {
        double r637851 = 0.5;
        double r637852 = 2.0;
        double r637853 = re;
        double r637854 = r637853 * r637853;
        double r637855 = im;
        double r637856 = r637855 * r637855;
        double r637857 = r637854 + r637856;
        double r637858 = sqrt(r637857);
        double r637859 = r637858 - r637853;
        double r637860 = r637852 * r637859;
        double r637861 = sqrt(r637860);
        double r637862 = r637851 * r637861;
        return r637862;
}

↓

double f(double re, double im) {
        double r637863 = im;
        double r637864 = -1.83059393992081e+158;
        bool r637865 = r637863 <= r637864;
        double r637866 = 0.5;
        double r637867 = re;
        double r637868 = r637867 + r637863;
        double r637869 = -r637868;
        double r637870 = 2.0;
        double r637871 = r637869 * r637870;
        double r637872 = sqrt(r637871);
        double r637873 = r637866 * r637872;
        double r637874 = -1.2297103312292532e+117;
        bool r637875 = r637863 <= r637874;
        double r637876 = fabs(r637863);
        double r637877 = r637867 + r637867;
        double r637878 = r637876 / r637877;
        double r637879 = r637876 * r637878;
        double r637880 = r637879 * r637870;
        double r637881 = sqrt(r637880);
        double r637882 = r637866 * r637881;
        double r637883 = -9.390513393497782e-96;
        bool r637884 = r637863 <= r637883;
        double r637885 = sqrt(r637876);
        double r637886 = r637863 * r637863;
        double r637887 = r637867 * r637867;
        double r637888 = r637886 + r637887;
        double r637889 = sqrt(r637888);
        double r637890 = r637867 + r637889;
        double r637891 = sqrt(r637890);
        double r637892 = r637885 / r637891;
        double r637893 = r637892 * r637876;
        double r637894 = r637893 * r637892;
        double r637895 = r637870 * r637894;
        double r637896 = sqrt(r637895);
        double r637897 = r637866 * r637896;
        double r637898 = 1.0325561614582738e-163;
        bool r637899 = r637863 <= r637898;
        double r637900 = -2.0;
        double r637901 = r637867 * r637900;
        double r637902 = r637901 * r637870;
        double r637903 = sqrt(r637902);
        double r637904 = r637903 * r637866;
        double r637905 = 6.939159969879892e+19;
        bool r637906 = r637863 <= r637905;
        double r637907 = r637870 * r637886;
        double r637908 = sqrt(r637907);
        double r637909 = r637908 / r637891;
        double r637910 = r637866 * r637909;
        double r637911 = 2.580378641751245e+36;
        bool r637912 = r637863 <= r637911;
        double r637913 = 8.312232129912929e+97;
        bool r637914 = r637863 <= r637913;
        double r637915 = r637876 / r637890;
        double r637916 = cbrt(r637915);
        double r637917 = r637916 * r637916;
        double r637918 = r637917 * r637876;
        double r637919 = r637918 * r637916;
        double r637920 = r637919 * r637870;
        double r637921 = sqrt(r637920);
        double r637922 = r637921 * r637866;
        double r637923 = r637876 / r637868;
        double r637924 = r637923 * r637876;
        double r637925 = r637924 * r637870;
        double r637926 = sqrt(r637925);
        double r637927 = r637926 * r637866;
        double r637928 = r637914 ? r637922 : r637927;
        double r637929 = r637912 ? r637904 : r637928;
        double r637930 = r637906 ? r637910 : r637929;
        double r637931 = r637899 ? r637904 : r637930;
        double r637932 = r637884 ? r637897 : r637931;
        double r637933 = r637875 ? r637882 : r637932;
        double r637934 = r637865 ? r637873 : r637933;
        return r637934;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Derivation

1. Split input into 7 regimes

2. if im < -1.83059393992081e+158

   1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-- 64.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Simplified 64.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

   5. Taylor expanded around -inf 7.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-\left(re + im\right)\right)}}\]

   if -1.83059393992081e+158 < im < -1.2297103312292532e+117

   1. Initial program 20.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-- 21.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Simplified 20.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied *-un-lft-identity 20.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}}\]

   7. Applied add-sqr-sqrt 20.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im + 0} \cdot \sqrt{im \cdot im + 0}}}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}\]

   8. Applied times-frac 20.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{1} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}}\]

   9. Simplified 20.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]

   10. Simplified 20.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)}\]

   11. Taylor expanded around inf 55.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\left|im\right|}{\color{blue}{re} + re}\right)}\]

   if -1.2297103312292532e+117 < im < -9.390513393497782e-96

   1. Initial program 23.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-- 30.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Simplified 22.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied *-un-lft-identity 22.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}}\]

   7. Applied add-sqr-sqrt 22.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im + 0} \cdot \sqrt{im \cdot im + 0}}}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}\]

   8. Applied times-frac 22.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{1} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}}\]

   9. Simplified 22.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]

   10. Simplified 22.5

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)}\]
   11. Using strategy rm

   12. Applied add-sqr-sqrt 22.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\left|im\right|}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\right)}\]

   13. Applied add-sqr-sqrt 22.5

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left|im\right|} \cdot \sqrt{\left|im\right|}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)}\]

   14. Applied times-frac 22.5

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot \frac{\sqrt{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)}\right)}\]

   15. Applied associate-*r* 22.5

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\left|im\right| \cdot \frac{\sqrt{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right) \cdot \frac{\sqrt{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)}}\]

   if -9.390513393497782e-96 < im < 1.0325561614582738e-163 or 6.939159969879892e+19 < im < 2.580378641751245e+36

   1. Initial program 41.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

   2. Taylor expanded around -inf 36.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

   if 1.0325561614582738e-163 < im < 6.939159969879892e+19

   1. Initial program 27.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-- 39.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Simplified 29.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied associate-*r/ 29.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(im \cdot im + 0\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   7. Applied sqrt-div 28.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im + 0\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   8. Simplified 28.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot 2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

   if 2.580378641751245e+36 < im < 8.312232129912929e+97

   1. Initial program 19.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-- 23.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Simplified 18.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied *-un-lft-identity 18.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}}\]

   7. Applied add-sqr-sqrt 18.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im + 0} \cdot \sqrt{im \cdot im + 0}}}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}\]

   8. Applied times-frac 18.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{1} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}}\]

   9. Simplified 18.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]

   10. Simplified 18.6

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)}\]
   11. Using strategy rm

   12. Applied add-cube-cbrt 18.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)}\right)}\]

   13. Applied associate-*r* 18.7

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\left|im\right| \cdot \left(\sqrt[3]{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)}}\]

   if 8.312232129912929e+97 < im

   1. Initial program 51.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-- 51.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

   4. Simplified 51.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied *-un-lft-identity 51.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im + 0}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}}\]

   7. Applied add-sqr-sqrt 51.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im + 0} \cdot \sqrt{im \cdot im + 0}}}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}}\]

   8. Applied times-frac 51.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{1} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}}\]

   9. Simplified 51.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|im\right|} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im + 0}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}\right)}\]

   10. Simplified 50.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \color{blue}{\frac{\left|im\right|}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\right)}\]

   11. Taylor expanded around 0 11.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left|im\right| \cdot \frac{\left|im\right|}{\color{blue}{im} + re}\right)}\]
3. Recombined 7 regimes into one program.

4. Final simplification 25.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \le -1.830593939920810112608139818514622745005 \cdot 10^{158}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(-\left(re + im\right)\right) \cdot 2}\\ \mathbf{elif}\;im \le -1.229710331229253200153366570596649446976 \cdot 10^{117}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(\left|im\right| \cdot \frac{\left|im\right|}{re + re}\right) \cdot 2}\\ \mathbf{elif}\;im \le -9.390513393497782190380660056887968197315 \cdot 10^{-96}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(\frac{\sqrt{\left|im\right|}}{\sqrt{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \left|im\right|\right) \cdot \frac{\sqrt{\left|im\right|}}{\sqrt{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \le 1.032556161458273784812719104349678483108 \cdot 10^{-163}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re \cdot -2\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 69391599698798919680:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\\ \mathbf{elif}\;im \le 2580378641751245051012166718410719232:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(re \cdot -2\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\ \mathbf{elif}\;im \le 8.312232129912929054540202378596483167996 \cdot 10^{97}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\left(\left(\sqrt[3]{\frac{\left|im\right|}{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\left|im\right|}{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) \cdot \left|im\right|\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\left|im\right|}{re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}}\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(\frac{\left|im\right|}{re + im} \cdot \left|im\right|\right) \cdot 2} \cdot 0.5\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019170 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))