_divideComplex, real part

Average Error: 26.7 → 13.8

Time: 19.5s

Precision: 64

Math

\[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \le -1.089461735547701998462444321403079545789 \cdot 10^{128}:\\ \;\;\;\;\frac{-x.re}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \le 1.118997009957086950731063477054450821087 \cdot 10^{219}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(y.re, x.re, x.im \cdot y.im\right)}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x.re}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}\\ \end{array}\]

C

double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r2433861 = x_re;
        double r2433862 = y_re;
        double r2433863 = r2433861 * r2433862;
        double r2433864 = x_im;
        double r2433865 = y_im;
        double r2433866 = r2433864 * r2433865;
        double r2433867 = r2433863 + r2433866;
        double r2433868 = r2433862 * r2433862;
        double r2433869 = r2433865 * r2433865;
        double r2433870 = r2433868 + r2433869;
        double r2433871 = r2433867 / r2433870;
        return r2433871;
}

↓

double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r2433872 = y_re;
        double r2433873 = -1.089461735547702e+128;
        bool r2433874 = r2433872 <= r2433873;
        double r2433875 = x_re;
        double r2433876 = -r2433875;
        double r2433877 = y_im;
        double r2433878 = hypot(r2433877, r2433872);
        double r2433879 = r2433876 / r2433878;
        double r2433880 = 1.118997009957087e+219;
        bool r2433881 = r2433872 <= r2433880;
        double r2433882 = x_im;
        double r2433883 = r2433882 * r2433877;
        double r2433884 = fma(r2433872, r2433875, r2433883);
        double r2433885 = r2433884 / r2433878;
        double r2433886 = r2433885 / r2433878;
        double r2433887 = r2433875 / r2433878;
        double r2433888 = r2433881 ? r2433886 : r2433887;
        double r2433889 = r2433874 ? r2433879 : r2433888;
        return r2433889;
}

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y.re < -1.089461735547702e+128

   1. Initial program 43.2

      \[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

   2. Simplified 43.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt 43.2

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]

   5. Applied associate-/r* 43.2

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied *-un-lft-identity 43.2

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]

   8. Applied sqrt-prod 43.2

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]

   9. Applied *-un-lft-identity 43.2

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

   10. Applied sqrt-prod 43.2

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

   11. Applied *-un-lft-identity 43.2

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

   12. Applied times-frac 43.2

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

   13. Applied times-frac 43.2

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\sqrt{1}}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]

   14. Simplified 43.2

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

   15. Simplified 29.2

       \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(y.re, x.re, x.im \cdot y.im\right)}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}}\]

   16. Taylor expanded around -inf 15.4

       \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot x.re}}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}\]

   17. Simplified 15.4

       \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{-x.re}}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}\]

   if -1.089461735547702e+128 < y.re < 1.118997009957087e+219

   1. Initial program 22.0

      \[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

   2. Simplified 22.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt 22.0

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]

   5. Applied associate-/r* 21.9

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied *-un-lft-identity 21.9

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]

   8. Applied sqrt-prod 21.9

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]

   9. Applied *-un-lft-identity 21.9

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

   10. Applied sqrt-prod 21.9

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

   11. Applied *-un-lft-identity 21.9

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

   12. Applied times-frac 21.9

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

   13. Applied times-frac 21.9

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\sqrt{1}}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]

   14. Simplified 21.9

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

   15. Simplified 13.8

       \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(y.re, x.re, x.im \cdot y.im\right)}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}}\]

   if 1.118997009957087e+219 < y.re

   1. Initial program 41.5

      \[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

   2. Simplified 41.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied add-sqr-sqrt 41.5

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]

   5. Applied associate-/r* 41.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]
   6. Using strategy rm

   7. Applied *-un-lft-identity 41.5

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]

   8. Applied sqrt-prod 41.5

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]

   9. Applied *-un-lft-identity 41.5

      \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

   10. Applied sqrt-prod 41.5

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

   11. Applied *-un-lft-identity 41.5

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

   12. Applied times-frac 41.5

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

   13. Applied times-frac 41.5

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{1}{\sqrt{1}}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]

   14. Simplified 41.5

       \[\leadsto \color{blue}{1} \cdot \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

   15. Simplified 32.6

       \[\leadsto 1 \cdot \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(y.re, x.re, x.im \cdot y.im\right)}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}}\]

   16. Taylor expanded around inf 10.8

       \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{x.re}}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}\]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 13.8

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.re \le -1.089461735547701998462444321403079545789 \cdot 10^{128}:\\ \;\;\;\;\frac{-x.re}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.re \le 1.118997009957086950731063477054450821087 \cdot 10^{219}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(y.re, x.re, x.im \cdot y.im\right)}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x.re}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019169 +o rules:numerics
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, real part"
  (/ (+ (* x.re y.re) (* x.im y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))