Cubic critical, wide range

Average Error: 53.0 → 52.2

Time: 30.9s

Precision: 64

\[4.930380657631324 \cdot 10^{-32} \lt a \lt 2.028240960365167 \cdot 10^{+31} \land 4.930380657631324 \cdot 10^{-32} \lt b \lt 2.028240960365167 \cdot 10^{+31} \land 4.930380657631324 \cdot 10^{-32} \lt c \lt 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

↓

\[\left(\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)}{3 \cdot a}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)\right)}}{3 \cdot a}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)}{3 \cdot a}}\]

C

double f(double a, double b, double c) {
        double r3904218 = b;
        double r3904219 = -r3904218;
        double r3904220 = r3904218 * r3904218;
        double r3904221 = 3.0;
        double r3904222 = a;
        double r3904223 = r3904221 * r3904222;
        double r3904224 = c;
        double r3904225 = r3904223 * r3904224;
        double r3904226 = r3904220 - r3904225;
        double r3904227 = sqrt(r3904226);
        double r3904228 = r3904219 + r3904227;
        double r3904229 = r3904228 / r3904223;
        return r3904229;
}

↓

double f(double a, double b, double c) {
        double r3904230 = -3.0;
        double r3904231 = a;
        double r3904232 = c;
        double r3904233 = r3904231 * r3904232;
        double r3904234 = b;
        double r3904235 = r3904234 * r3904234;
        double r3904236 = fma(r3904230, r3904233, r3904235);
        double r3904237 = sqrt(r3904236);
        double r3904238 = sqrt(r3904237);
        double r3904239 = -r3904234;
        double r3904240 = fma(r3904238, r3904238, r3904239);
        double r3904241 = 3.0;
        double r3904242 = r3904241 * r3904231;
        double r3904243 = r3904240 / r3904242;
        double r3904244 = cbrt(r3904243);
        double r3904245 = r3904240 * r3904240;
        double r3904246 = r3904240 * r3904245;
        double r3904247 = cbrt(r3904246);
        double r3904248 = r3904247 / r3904242;
        double r3904249 = cbrt(r3904248);
        double r3904250 = r3904244 * r3904249;
        double r3904251 = r3904250 * r3904244;
        return r3904251;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

1. Initial program 53.0

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

2. Simplified 53.0

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
3. Using strategy rm

4. Applied add-sqr-sqrt 53.0

   \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}} - b}{3 \cdot a}\]

5. Applied sqrt-prod 52.7

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}} - b}{3 \cdot a}\]

6. Applied fma-neg 52.2

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}{3 \cdot a}\]
7. Using strategy rm

8. Applied add-cube-cbrt 52.2

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}{3 \cdot a}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}{3 \cdot a}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}{3 \cdot a}}}\]
9. Using strategy rm

10. Applied add-cbrt-cube 52.2

    \[\leadsto \left(\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}{3 \cdot a}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}}{3 \cdot a}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}{3 \cdot a}}\]

11. Final simplification 52.2

    \[\leadsto \left(\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)}{3 \cdot a}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)\right)}}{3 \cdot a}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, -b\right)}{3 \cdot a}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019168 +o rules:numerics
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, wide range"
  :pre (and (< 4.930380657631324e-32 a 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 b 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 c 2.028240960365167e+31))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))