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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -3.0154571595336588 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.161818111636812 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -3.0154571595336588 \cdot 10^{-301}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \le 3.161818111636812 \cdot 10^{+106}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot 2.0}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r6843970 = 0.5;
        double r6843971 = 2.0;
        double r6843972 = re;
        double r6843973 = r6843972 * r6843972;
        double r6843974 = im;
        double r6843975 = r6843974 * r6843974;
        double r6843976 = r6843973 + r6843975;
        double r6843977 = sqrt(r6843976);
        double r6843978 = r6843977 + r6843972;
        double r6843979 = r6843971 * r6843978;
        double r6843980 = sqrt(r6843979);
        double r6843981 = r6843970 * r6843980;
        return r6843981;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r6843982 = re;
        double r6843983 = -3.0154571595336588e-301;
        bool r6843984 = r6843982 <= r6843983;
        double r6843985 = 0.5;
        double r6843986 = 2.0;
        double r6843987 = im;
        double r6843988 = r6843987 * r6843987;
        double r6843989 = r6843986 * r6843988;
        double r6843990 = sqrt(r6843989);
        double r6843991 = r6843982 * r6843982;
        double r6843992 = r6843988 + r6843991;
        double r6843993 = sqrt(r6843992);
        double r6843994 = r6843993 - r6843982;
        double r6843995 = sqrt(r6843994);
        double r6843996 = r6843990 / r6843995;
        double r6843997 = r6843985 * r6843996;
        double r6843998 = 3.161818111636812e+106;
        bool r6843999 = r6843982 <= r6843998;
        double r6844000 = cbrt(r6843992);
        double r6844001 = fabs(r6844000);
        double r6844002 = sqrt(r6844000);
        double r6844003 = r6844001 * r6844002;
        double r6844004 = sqrt(r6844003);
        double r6844005 = sqrt(r6843993);
        double r6844006 = r6844004 * r6844005;
        double r6844007 = r6843982 + r6844006;
        double r6844008 = r6844007 * r6843986;
        double r6844009 = sqrt(r6844008);
        double r6844010 = r6843985 * r6844009;
        double r6844011 = r6843982 + r6843982;
        double r6844012 = r6843986 * r6844011;
        double r6844013 = sqrt(r6844012);
        double r6844014 = r6843985 * r6844013;
        double r6844015 = r6843999 ? r6844010 : r6844014;
        double r6844016 = r6843984 ? r6843997 : r6844015;
        return r6844016;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.2
Target32.1
Herbie25.1
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -3.0154571595336588e-301

    1. Initial program 44.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+44.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/44.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div44.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified33.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im + 0\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -3.0154571595336588e-301 < re < 3.161818111636812e+106

    1. Initial program 19.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt19.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod19.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied add-cube-cbrt19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    7. Applied sqrt-prod19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    8. Simplified19.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)}\]

    if 3.161818111636812e+106 < re

    1. Initial program 50.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 10.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification25.1

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -3.0154571595336588 \cdot 10^{-301}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2.0 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.161818111636812 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + \sqrt{\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right) \cdot 2.0}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019165 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))