Average Error: 25.6 → 25.5
Time: 17.3s
Precision: 64
\[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]
↓
\[\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(y.re, x.re, y.im \cdot x.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]
\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}
↓
\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(y.re, x.re, y.im \cdot x.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}
double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r2993302 = x_re;
        double r2993303 = y_re;
        double r2993304 = r2993302 * r2993303;
        double r2993305 = x_im;
        double r2993306 = y_im;
        double r2993307 = r2993305 * r2993306;
        double r2993308 = r2993304 + r2993307;
        double r2993309 = r2993303 * r2993303;
        double r2993310 = r2993306 * r2993306;
        double r2993311 = r2993309 + r2993310;
        double r2993312 = r2993308 / r2993311;
        return r2993312;
}
↓
double f(double x_re, double x_im, double y_re, double y_im) {
        double r2993313 = y_re;
        double r2993314 = x_re;
        double r2993315 = y_im;
        double r2993316 = x_im;
        double r2993317 = r2993315 * r2993316;
        double r2993318 = fma(r2993313, r2993314, r2993317);
        double r2993319 = r2993313 * r2993313;
        double r2993320 = fma(r2993315, r2993315, r2993319);
        double r2993321 = sqrt(r2993320);
        double r2993322 = r2993318 / r2993321;
        double r2993323 = r2993322 / r2993321;
        return r2993323;
}

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

Derivation

  1. Initial program 25.6

    \[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}\]

  2. Simplified25.6

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied add-sqr-sqrt25.6

    \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]

  5. Applied associate-/r*25.5

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\]
  6. Using strategy rm

  7. Applied *-un-lft-identity25.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

  8. Applied sqrt-prod25.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

  9. Applied associate-/r*25.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{1}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

  10. Simplified25.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y.re, x.re, y.im \cdot x.im\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

  11. Final simplification25.5

    \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(y.re, x.re, y.im \cdot x.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019164 +o rules:numerics
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, real part"
  (/ (+ (* x.re y.re) (* x.im y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))