Quadratic roots, narrow range

Average Error: 28.6 → 27.4

Time: 34.5s

Precision: 64

\[1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} \lt a \lt 94906265.62425156 \land 1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} \lt b \lt 94906265.62425156 \land 1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} \lt c \lt 94906265.62425156\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

↓

\[\frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)}, \left(-b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)} + b, \mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)}, \left(-b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)} + b, \mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)\right)}}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)}, \left(-b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)} + b, \mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)}, \left(-b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)}, \left(-b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}}{\sqrt{a}}}{2}\]

C

double f(double a, double b, double c) {
        double r2314300 = b;
        double r2314301 = -r2314300;
        double r2314302 = r2314300 * r2314300;
        double r2314303 = 4.0;
        double r2314304 = a;
        double r2314305 = r2314303 * r2314304;
        double r2314306 = c;
        double r2314307 = r2314305 * r2314306;
        double r2314308 = r2314302 - r2314307;
        double r2314309 = sqrt(r2314308);
        double r2314310 = r2314301 + r2314309;
        double r2314311 = 2.0;
        double r2314312 = r2314311 * r2314304;
        double r2314313 = r2314310 / r2314312;
        return r2314313;
}

↓

double f(double a, double b, double c) {
        double r2314314 = c;
        double r2314315 = a;
        double r2314316 = -4.0;
        double r2314317 = r2314315 * r2314316;
        double r2314318 = b;
        double r2314319 = r2314318 * r2314318;
        double r2314320 = fma(r2314314, r2314317, r2314319);
        double r2314321 = sqrt(r2314320);
        double r2314322 = -r2314318;
        double r2314323 = r2314322 * r2314319;
        double r2314324 = fma(r2314320, r2314321, r2314323);
        double r2314325 = r2314321 + r2314318;
        double r2314326 = fma(r2314318, r2314325, r2314320);
        double r2314327 = r2314324 / r2314326;
        double r2314328 = cbrt(r2314327);
        double r2314329 = r2314328 * r2314328;
        double r2314330 = sqrt(r2314315);
        double r2314331 = r2314329 / r2314330;
        double r2314332 = cbrt(r2314324);
        double r2314333 = r2314332 / r2314326;
        double r2314334 = cbrt(r2314333);
        double r2314335 = r2314332 * r2314332;
        double r2314336 = cbrt(r2314335);
        double r2314337 = r2314334 * r2314336;
        double r2314338 = r2314337 / r2314330;
        double r2314339 = r2314331 * r2314338;
        double r2314340 = 2.0;
        double r2314341 = r2314339 / r2314340;
        return r2314341;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

1. Initial program 28.6

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

2. Simplified 28.6

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)} - b}{a}}{2}}\]
3. Using strategy rm

4. Applied flip3-- 28.7

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}}{a}}{2}\]

5. Simplified 28.0

   \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)} - \left(b \cdot b\right) \cdot b}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}{a}}{2}\]

6. Simplified 28.0

   \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)} - \left(b \cdot b\right) \cdot b}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}}}{a}}{2}\]
7. Using strategy rm

8. Applied fma-neg 27.4

   \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}}{a}}{2}\]
9. Using strategy rm

10. Applied add-sqr-sqrt 27.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}}{\color{blue}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}}}{2}\]

11. Applied add-cube-cbrt 27.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}}}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}}{2}\]

12. Applied times-frac 27.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}}}{\sqrt{a}}}}{2}\]
13. Using strategy rm

14. Applied *-un-lft-identity 27.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}}}}{\sqrt{a}}}{2}\]

15. Applied add-cube-cbrt 27.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}}}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}}}{\sqrt{a}}}{2}\]

16. Applied times-frac 27.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}}{1} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}}}}{\sqrt{a}}}{2}\]

17. Applied cbrt-prod 27.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}}{1}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, -\left(b \cdot b\right) \cdot b\right)}}{\mathsf{fma}\left(b, b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)}, \mathsf{fma}\left(c, -4 \cdot a, b \cdot b\right)\right)}}}}{\sqrt{a}}}{2}\]

18. Final simplification 27.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)}, \left(-b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)} + b, \mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)}, \left(-b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)} + b, \mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)\right)}}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)}, \left(-b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)} + b, \mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)}, \left(-b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(c, a \cdot -4, b \cdot b\right)}, \left(-b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}}{\sqrt{a}}}{2}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019163 +o rules:numerics
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a)))