Quadratic roots, wide range

Average Error: 52.6 → 51.8

Time: 27.9s

Precision: 64

\[4.930380657631324 \cdot 10^{-32} \lt a \lt 2.028240960365167 \cdot 10^{+31} \land 4.930380657631324 \cdot 10^{-32} \lt b \lt 2.028240960365167 \cdot 10^{+31} \land 4.930380657631324 \cdot 10^{-32} \lt c \lt 2.028240960365167 \cdot 10^{+31}\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

↓

\[\frac{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}}{\sqrt{a}}}{2}\]

C

double f(double a, double b, double c) {
        double r1212485 = b;
        double r1212486 = -r1212485;
        double r1212487 = r1212485 * r1212485;
        double r1212488 = 4.0;
        double r1212489 = a;
        double r1212490 = r1212488 * r1212489;
        double r1212491 = c;
        double r1212492 = r1212490 * r1212491;
        double r1212493 = r1212487 - r1212492;
        double r1212494 = sqrt(r1212493);
        double r1212495 = r1212486 + r1212494;
        double r1212496 = 2.0;
        double r1212497 = r1212496 * r1212489;
        double r1212498 = r1212495 / r1212497;
        return r1212498;
}

↓

double f(double a, double b, double c) {
        double r1212499 = c;
        double r1212500 = a;
        double r1212501 = r1212499 * r1212500;
        double r1212502 = -4.0;
        double r1212503 = b;
        double r1212504 = r1212503 * r1212503;
        double r1212505 = fma(r1212501, r1212502, r1212504);
        double r1212506 = sqrt(r1212505);
        double r1212507 = sqrt(r1212506);
        double r1212508 = -r1212503;
        double r1212509 = fma(r1212507, r1212507, r1212508);
        double r1212510 = cbrt(r1212509);
        double r1212511 = sqrt(r1212500);
        double r1212512 = r1212510 / r1212511;
        double r1212513 = r1212510 * r1212510;
        double r1212514 = cbrt(r1212513);
        double r1212515 = r1212514 * r1212514;
        double r1212516 = r1212515 * r1212514;
        double r1212517 = r1212516 / r1212511;
        double r1212518 = r1212512 * r1212517;
        double r1212519 = 2.0;
        double r1212520 = r1212518 / r1212519;
        return r1212520;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

1. Initial program 52.6

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(4 \cdot a\right) \cdot c}}{2 \cdot a}\]

2. Simplified 52.6

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)} - b}{a}}{2}}\]
3. Using strategy rm

4. Applied add-sqr-sqrt 52.6

   \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}} - b}{a}}{2}\]

5. Applied sqrt-prod 52.4

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}} - b}{a}}{2}\]

6. Applied fma-neg 51.8

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}{a}}{2}\]
7. Using strategy rm

8. Applied add-sqr-sqrt 51.8

   \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}{\color{blue}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}}}{2}\]

9. Applied add-cube-cbrt 51.8

   \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}}{2}\]

10. Applied times-frac 51.8

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}{\sqrt{a}}}}{2}\]
11. Using strategy rm

12. Applied add-cube-cbrt 51.8

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}{\sqrt{a}}}{2}\]

13. Final simplification 51.8

    \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(c \cdot a, -4, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}}{\sqrt{a}}}{2}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019163 +o rules:numerics
(FPCore (a b c)
  :name "Quadratic roots, wide range"
  :pre (and (< 4.930380657631324e-32 a 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 b 2.028240960365167e+31) (< 4.930380657631324e-32 c 2.028240960365167e+31))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 4 a) c)))) (* 2 a)))