Average Error: 19.5 → 0.6
Time: 21.7s
Precision: 64
\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -8200451688083493.0:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889, \mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, x\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;z \le 8.728612712058619 \cdot 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z, 0.4917317610505968\right), z, 0.279195317918525\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(6.012459259764103 + z, z, 3.350343815022304\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(6.012459259764103 + z, z, 3.350343815022304\right)}}, y, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889, \mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, x\right)\right)\\ \end{array}\]
x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;z \le -8200451688083493.0:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889, \mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, x\right)\right)\\

\mathbf{elif}\;z \le 8.728612712058619 \cdot 10^{-20}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z, 0.4917317610505968\right), z, 0.279195317918525\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(6.012459259764103 + z, z, 3.350343815022304\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(6.012459259764103 + z, z, 3.350343815022304\right)}}, y, x\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889, \mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, x\right)\right)\\

\end{array}
double f(double x, double y, double z) {
        double r15555403 = x;
        double r15555404 = y;
        double r15555405 = z;
        double r15555406 = 0.0692910599291889;
        double r15555407 = r15555405 * r15555406;
        double r15555408 = 0.4917317610505968;
        double r15555409 = r15555407 + r15555408;
        double r15555410 = r15555409 * r15555405;
        double r15555411 = 0.279195317918525;
        double r15555412 = r15555410 + r15555411;
        double r15555413 = r15555404 * r15555412;
        double r15555414 = 6.012459259764103;
        double r15555415 = r15555405 + r15555414;
        double r15555416 = r15555415 * r15555405;
        double r15555417 = 3.350343815022304;
        double r15555418 = r15555416 + r15555417;
        double r15555419 = r15555413 / r15555418;
        double r15555420 = r15555403 + r15555419;
        return r15555420;
}
↓
double f(double x, double y, double z) {
        double r15555421 = z;
        double r15555422 = -8200451688083493.0;
        bool r15555423 = r15555421 <= r15555422;
        double r15555424 = y;
        double r15555425 = 0.0692910599291889;
        double r15555426 = 0.07512208616047561;
        double r15555427 = r15555426 / r15555421;
        double r15555428 = x;
        double r15555429 = fma(r15555427, r15555424, r15555428);
        double r15555430 = fma(r15555424, r15555425, r15555429);
        double r15555431 = 8.728612712058619e-20;
        bool r15555432 = r15555421 <= r15555431;
        double r15555433 = 0.4917317610505968;
        double r15555434 = fma(r15555425, r15555421, r15555433);
        double r15555435 = 0.279195317918525;
        double r15555436 = fma(r15555434, r15555421, r15555435);
        double r15555437 = 6.012459259764103;
        double r15555438 = r15555437 + r15555421;
        double r15555439 = 3.350343815022304;
        double r15555440 = fma(r15555438, r15555421, r15555439);
        double r15555441 = sqrt(r15555440);
        double r15555442 = r15555436 / r15555441;
        double r15555443 = r15555442 / r15555441;
        double r15555444 = fma(r15555443, r15555424, r15555428);
        double r15555445 = r15555432 ? r15555444 : r15555430;
        double r15555446 = r15555423 ? r15555430 : r15555445;
        return r15555446;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original19.5
Target0.2
Herbie0.6
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \lt -8120153.652456675:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \lt 6.576118972787377 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if z < -8200451688083493.0 or 8.728612712058619e-20 < z

    1. Initial program 38.5

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\]

    2. Simplified31.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z, 0.4917317610505968\right), z, 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103, z, 3.350343815022304\right)}, y, x\right)}\]

    3. Taylor expanded around inf 1.1

      \[\leadsto \color{blue}{x + \left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + 0.0692910599291889 \cdot y\right)}\]

    4. Simplified1.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889, \mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, x\right)\right)}\]

    if -8200451688083493.0 < z < 8.728612712058619e-20

    1. Initial program 0.2

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\]

    2. Simplified0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z, 0.4917317610505968\right), z, 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103, z, 3.350343815022304\right)}, y, x\right)}\]
    3. Using strategy rm

    4. Applied add-sqr-sqrt0.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z, 0.4917317610505968\right), z, 0.279195317918525\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103, z, 3.350343815022304\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103, z, 3.350343815022304\right)}}}, y, x\right)\]

    5. Applied associate-/r*0.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z, 0.4917317610505968\right), z, 0.279195317918525\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103, z, 3.350343815022304\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(z + 6.012459259764103, z, 3.350343815022304\right)}}}, y, x\right)\]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \le -8200451688083493.0:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889, \mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, x\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;z \le 8.728612712058619 \cdot 10^{-20}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z, 0.4917317610505968\right), z, 0.279195317918525\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(6.012459259764103 + z, z, 3.350343815022304\right)}}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(6.012459259764103 + z, z, 3.350343815022304\right)}}, y, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889, \mathsf{fma}\left(\frac{0.07512208616047561}{z}, y, x\right)\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019163 +o rules:numerics
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))