Cubic critical, medium range

Average Error: 43.9 → 12.0

Time: 33.6s

Precision: 64

\[1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt a \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt b \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt c \lt 9007199254740992.0\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 58.70366934289741:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)}, \left(-b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right), \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)}, b \cdot b, b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, a \cdot \left(\left(c \cdot b\right) \cdot \frac{-3}{2}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right) \cdot 3}}{a}\\ \end{array}\]

C

double f(double a, double b, double c) {
        double r3395589 = b;
        double r3395590 = -r3395589;
        double r3395591 = r3395589 * r3395589;
        double r3395592 = 3.0;
        double r3395593 = a;
        double r3395594 = r3395592 * r3395593;
        double r3395595 = c;
        double r3395596 = r3395594 * r3395595;
        double r3395597 = r3395591 - r3395596;
        double r3395598 = sqrt(r3395597);
        double r3395599 = r3395590 + r3395598;
        double r3395600 = r3395599 / r3395594;
        return r3395600;
}

↓

double f(double a, double b, double c) {
        double r3395601 = b;
        double r3395602 = 58.70366934289741;
        bool r3395603 = r3395601 <= r3395602;
        double r3395604 = a;
        double r3395605 = c;
        double r3395606 = r3395604 * r3395605;
        double r3395607 = -3.0;
        double r3395608 = r3395606 * r3395607;
        double r3395609 = r3395601 * r3395601;
        double r3395610 = fma(r3395606, r3395607, r3395609);
        double r3395611 = sqrt(r3395610);
        double r3395612 = r3395608 * r3395611;
        double r3395613 = r3395609 * r3395609;
        double r3395614 = r3395613 * r3395609;
        double r3395615 = r3395607 * r3395605;
        double r3395616 = fma(r3395604, r3395615, r3395609);
        double r3395617 = sqrt(r3395616);
        double r3395618 = r3395616 * r3395617;
        double r3395619 = r3395601 * r3395609;
        double r3395620 = -r3395619;
        double r3395621 = r3395620 * r3395614;
        double r3395622 = fma(r3395614, r3395618, r3395621);
        double r3395623 = fma(r3395617, r3395609, r3395619);
        double r3395624 = r3395623 * r3395619;
        double r3395625 = fma(r3395616, r3395613, r3395624);
        double r3395626 = r3395622 / r3395625;
        double r3395627 = r3395612 + r3395626;
        double r3395628 = r3395609 + r3395610;
        double r3395629 = fma(r3395611, r3395601, r3395628);
        double r3395630 = r3395627 / r3395629;
        double r3395631 = 3.0;
        double r3395632 = r3395631 * r3395604;
        double r3395633 = r3395630 / r3395632;
        double r3395634 = r3395606 * r3395611;
        double r3395635 = r3395605 * r3395601;
        double r3395636 = -1.5;
        double r3395637 = r3395635 * r3395636;
        double r3395638 = r3395604 * r3395637;
        double r3395639 = fma(r3395607, r3395634, r3395638);
        double r3395640 = r3395629 * r3395631;
        double r3395641 = r3395639 / r3395640;
        double r3395642 = r3395641 / r3395604;
        double r3395643 = r3395603 ? r3395633 : r3395642;
        return r3395643;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 58.70366934289741

   1. Initial program 27.5

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified 27.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3-- 27.6

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Simplified 26.9

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   6. Simplified 26.9

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied fma-udef 26.9

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   9. Applied distribute-rgt-in 26.7

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   10. Applied associate--l+ 24.8

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]
   11. Using strategy rm

   12. Applied flip3-- 24.9

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \color{blue}{\frac{{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}^{3}}{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) + \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   13. Simplified 25.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}, -\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) + \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   14. Simplified 25.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\mathsf{fma}\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}, -\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right), \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}, b \cdot b, b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   if 58.70366934289741 < b

   1. Initial program 48.6

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified 48.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3-- 48.6

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Simplified 48.3

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   6. Simplified 48.3

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied fma-udef 48.3

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   9. Applied distribute-rgt-in 48.2

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   10. Applied associate--l+ 41.6

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   11. Taylor expanded around inf 8.3

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \color{blue}{\frac{-3}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]
   12. Using strategy rm

   13. Applied associate-/r* 8.3

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{-3}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3}}{a}}\]

   14. Simplified 8.3

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, a \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot \left(b \cdot c\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right) \cdot 3}}}{a}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 12.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 58.70366934289741:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)}, \left(-b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right), \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)}, b \cdot b, b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, a \cdot \left(\left(c \cdot b\right) \cdot \frac{-3}{2}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right) \cdot 3}}{a}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019163 +o rules:numerics
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, medium range"
  :pre (and (< 1.1102230246251565e-16 a 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 b 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 c 9007199254740992.0))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))