Cubic critical, medium range

Average Error: 43.9 → 12.0

Time: 31.6s

Precision: 64

\[1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt a \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt b \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt c \lt 9007199254740992.0\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 58.70366934289741:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)}, \left(-b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right), \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)}, b \cdot b, b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, a \cdot \left(\left(c \cdot b\right) \cdot \frac{-3}{2}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right) \cdot 3}}{a}\\ \end{array}\]

C

double f(double a, double b, double c) {
        double r4729505 = b;
        double r4729506 = -r4729505;
        double r4729507 = r4729505 * r4729505;
        double r4729508 = 3.0;
        double r4729509 = a;
        double r4729510 = r4729508 * r4729509;
        double r4729511 = c;
        double r4729512 = r4729510 * r4729511;
        double r4729513 = r4729507 - r4729512;
        double r4729514 = sqrt(r4729513);
        double r4729515 = r4729506 + r4729514;
        double r4729516 = r4729515 / r4729510;
        return r4729516;
}

↓

double f(double a, double b, double c) {
        double r4729517 = b;
        double r4729518 = 58.70366934289741;
        bool r4729519 = r4729517 <= r4729518;
        double r4729520 = a;
        double r4729521 = c;
        double r4729522 = r4729520 * r4729521;
        double r4729523 = -3.0;
        double r4729524 = r4729522 * r4729523;
        double r4729525 = r4729517 * r4729517;
        double r4729526 = fma(r4729522, r4729523, r4729525);
        double r4729527 = sqrt(r4729526);
        double r4729528 = r4729524 * r4729527;
        double r4729529 = r4729525 * r4729525;
        double r4729530 = r4729529 * r4729525;
        double r4729531 = r4729523 * r4729521;
        double r4729532 = fma(r4729520, r4729531, r4729525);
        double r4729533 = sqrt(r4729532);
        double r4729534 = r4729532 * r4729533;
        double r4729535 = r4729517 * r4729525;
        double r4729536 = -r4729535;
        double r4729537 = r4729536 * r4729530;
        double r4729538 = fma(r4729530, r4729534, r4729537);
        double r4729539 = fma(r4729533, r4729525, r4729535);
        double r4729540 = r4729539 * r4729535;
        double r4729541 = fma(r4729532, r4729529, r4729540);
        double r4729542 = r4729538 / r4729541;
        double r4729543 = r4729528 + r4729542;
        double r4729544 = r4729525 + r4729526;
        double r4729545 = fma(r4729527, r4729517, r4729544);
        double r4729546 = r4729543 / r4729545;
        double r4729547 = 3.0;
        double r4729548 = r4729547 * r4729520;
        double r4729549 = r4729546 / r4729548;
        double r4729550 = r4729522 * r4729527;
        double r4729551 = r4729521 * r4729517;
        double r4729552 = -1.5;
        double r4729553 = r4729551 * r4729552;
        double r4729554 = r4729520 * r4729553;
        double r4729555 = fma(r4729523, r4729550, r4729554);
        double r4729556 = r4729545 * r4729547;
        double r4729557 = r4729555 / r4729556;
        double r4729558 = r4729557 / r4729520;
        double r4729559 = r4729519 ? r4729549 : r4729558;
        return r4729559;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 58.70366934289741

   1. Initial program 27.5

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified 27.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3-- 27.6

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Simplified 26.9

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   6. Simplified 26.9

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied fma-udef 26.9

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   9. Applied distribute-rgt-in 26.7

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   10. Applied associate--l+ 24.8

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]
   11. Using strategy rm

   12. Applied flip3-- 24.9

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \color{blue}{\frac{{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}^{3}}{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) + \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   13. Simplified 25.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}, -\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) + \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   14. Simplified 25.1

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\mathsf{fma}\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}, -\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right), \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, c \cdot -3, b \cdot b\right)}, b \cdot b, b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   if 58.70366934289741 < b

   1. Initial program 48.6

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified 48.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3-- 48.6

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Simplified 48.3

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   6. Simplified 48.3

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied fma-udef 48.3

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   9. Applied distribute-rgt-in 48.2

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   10. Applied associate--l+ 41.6

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   11. Taylor expanded around inf 8.3

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \color{blue}{\frac{-3}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]
   12. Using strategy rm

   13. Applied associate-/r* 8.3

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{-3}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3}}{a}}\]

   14. Simplified 8.3

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, a \cdot \left(\frac{-3}{2} \cdot \left(b \cdot c\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right) \cdot 3}}}{a}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 12.0

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 58.70366934289741:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)}, \left(-b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right), \left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)}, b \cdot b, b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(-3, \left(a \cdot c\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, a \cdot \left(\left(c \cdot b\right) \cdot \frac{-3}{2}\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right) \cdot 3}}{a}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019163 +o rules:numerics
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, medium range"
  :pre (and (< 1.1102230246251565e-16 a 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 b 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 c 9007199254740992.0))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))