Cubic critical, narrow range

Average Error: 28.8 → 15.1

Time: 37.1s

Precision: 64

\[1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} \lt a \lt 94906265.62425156 \land 1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} \lt b \lt 94906265.62425156 \land 1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} \lt c \lt 94906265.62425156\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 563.9094021205955:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, \left(-b\right) \cdot \left(\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(b \cdot b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(b \cdot b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)} + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(a, \left(c \cdot b\right) \cdot \frac{-3}{2}, \left(\left(a \cdot c\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot -3\right)}{3}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{a}\\ \end{array}\]

C

double f(double a, double b, double c) {
        double r3950940 = b;
        double r3950941 = -r3950940;
        double r3950942 = r3950940 * r3950940;
        double r3950943 = 3.0;
        double r3950944 = a;
        double r3950945 = r3950943 * r3950944;
        double r3950946 = c;
        double r3950947 = r3950945 * r3950946;
        double r3950948 = r3950942 - r3950947;
        double r3950949 = sqrt(r3950948);
        double r3950950 = r3950941 + r3950949;
        double r3950951 = r3950950 / r3950945;
        return r3950951;
}

↓

double f(double a, double b, double c) {
        double r3950952 = b;
        double r3950953 = 563.9094021205955;
        bool r3950954 = r3950952 <= r3950953;
        double r3950955 = r3950952 * r3950952;
        double r3950956 = r3950955 * r3950955;
        double r3950957 = r3950956 * r3950955;
        double r3950958 = a;
        double r3950959 = c;
        double r3950960 = r3950958 * r3950959;
        double r3950961 = -3.0;
        double r3950962 = fma(r3950960, r3950961, r3950955);
        double r3950963 = sqrt(r3950962);
        double r3950964 = r3950962 * r3950963;
        double r3950965 = -r3950952;
        double r3950966 = r3950957 * r3950955;
        double r3950967 = r3950965 * r3950966;
        double r3950968 = fma(r3950957, r3950964, r3950967);
        double r3950969 = r3950962 * r3950955;
        double r3950970 = r3950952 * r3950955;
        double r3950971 = fma(r3950955, r3950963, r3950970);
        double r3950972 = r3950970 * r3950971;
        double r3950973 = fma(r3950955, r3950969, r3950972);
        double r3950974 = r3950968 / r3950973;
        double r3950975 = r3950960 * r3950961;
        double r3950976 = r3950975 * r3950963;
        double r3950977 = r3950974 + r3950976;
        double r3950978 = r3950955 + r3950962;
        double r3950979 = fma(r3950963, r3950952, r3950978);
        double r3950980 = r3950977 / r3950979;
        double r3950981 = 3.0;
        double r3950982 = r3950958 * r3950981;
        double r3950983 = r3950980 / r3950982;
        double r3950984 = r3950959 * r3950952;
        double r3950985 = -1.5;
        double r3950986 = r3950984 * r3950985;
        double r3950987 = r3950960 * r3950963;
        double r3950988 = r3950987 * r3950961;
        double r3950989 = fma(r3950958, r3950986, r3950988);
        double r3950990 = r3950989 / r3950981;
        double r3950991 = r3950990 / r3950979;
        double r3950992 = r3950991 / r3950958;
        double r3950993 = r3950954 ? r3950983 : r3950992;
        return r3950993;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 563.9094021205955

   1. Initial program 16.8

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified 16.8

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3-- 16.8

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Simplified 16.1

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   6. Simplified 16.1

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied fma-udef 16.1

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   9. Applied distribute-rgt-in 16.0

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   10. Applied associate--l+ 15.7

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]
   11. Using strategy rm

   12. Applied flip3-- 15.7

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \color{blue}{\frac{{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}^{3}}{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) + \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   13. Simplified 14.8

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right), -\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot b\right)}}{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) + \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   14. Simplified 14.8

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\mathsf{fma}\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right), -\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot b\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(b \cdot b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \mathsf{fma}\left(b \cdot b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, \left(b \cdot b\right) \cdot b\right)\right)}}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   if 563.9094021205955 < b

   1. Initial program 36.3

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified 36.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3-- 36.4

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Simplified 35.7

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   6. Simplified 35.7

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied fma-udef 35.7

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   9. Applied distribute-rgt-in 35.6

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   10. Applied associate--l+ 32.8

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   11. Taylor expanded around inf 15.4

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \color{blue}{\frac{-3}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]
   12. Using strategy rm

   13. Applied associate-/r* 15.4

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{-3}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3}}{a}}\]

   14. Simplified 15.3

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(a, \left(b \cdot c\right) \cdot \frac{-3}{2}, -3 \cdot \left(\left(a \cdot c\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)\right)}{3}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}}{a}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 15.1

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 563.9094021205955:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, \left(-b\right) \cdot \left(\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(b \cdot b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(b \cdot b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)} + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(a, \left(c \cdot b\right) \cdot \frac{-3}{2}, \left(\left(a \cdot c\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot -3\right)}{3}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{a}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019163 +o rules:numerics
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))