Cubic critical, medium range

Average Error: 44.1 → 10.7

Time: 44.8s

Precision: 64

\[1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt a \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt b \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt c \lt 9007199254740992.0\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 0.10455593216828488:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, -\left(\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b \cdot b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(b \cdot b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)} + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{3}{2}, a \cdot \left(c \cdot b\right), \left(-\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(\left(a \cdot -3\right) \cdot c\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{a \cdot -3}\\ \end{array}\]

C

double f(double a, double b, double c) {
        double r4561182 = b;
        double r4561183 = -r4561182;
        double r4561184 = r4561182 * r4561182;
        double r4561185 = 3.0;
        double r4561186 = a;
        double r4561187 = r4561185 * r4561186;
        double r4561188 = c;
        double r4561189 = r4561187 * r4561188;
        double r4561190 = r4561184 - r4561189;
        double r4561191 = sqrt(r4561190);
        double r4561192 = r4561183 + r4561191;
        double r4561193 = r4561192 / r4561187;
        return r4561193;
}

↓

double f(double a, double b, double c) {
        double r4561194 = b;
        double r4561195 = 0.10455593216828488;
        bool r4561196 = r4561194 <= r4561195;
        double r4561197 = r4561194 * r4561194;
        double r4561198 = r4561197 * r4561197;
        double r4561199 = r4561198 * r4561197;
        double r4561200 = a;
        double r4561201 = c;
        double r4561202 = r4561200 * r4561201;
        double r4561203 = -3.0;
        double r4561204 = fma(r4561202, r4561203, r4561197);
        double r4561205 = sqrt(r4561204);
        double r4561206 = r4561204 * r4561205;
        double r4561207 = r4561199 * r4561197;
        double r4561208 = r4561207 * r4561194;
        double r4561209 = -r4561208;
        double r4561210 = fma(r4561199, r4561206, r4561209);
        double r4561211 = r4561204 * r4561197;
        double r4561212 = r4561194 * r4561197;
        double r4561213 = fma(r4561197, r4561205, r4561212);
        double r4561214 = r4561212 * r4561213;
        double r4561215 = fma(r4561197, r4561211, r4561214);
        double r4561216 = r4561210 / r4561215;
        double r4561217 = r4561202 * r4561203;
        double r4561218 = r4561217 * r4561205;
        double r4561219 = r4561216 + r4561218;
        double r4561220 = r4561197 + r4561204;
        double r4561221 = fma(r4561205, r4561194, r4561220);
        double r4561222 = r4561219 / r4561221;
        double r4561223 = 3.0;
        double r4561224 = r4561200 * r4561223;
        double r4561225 = r4561222 / r4561224;
        double r4561226 = 1.5;
        double r4561227 = r4561201 * r4561194;
        double r4561228 = r4561200 * r4561227;
        double r4561229 = r4561200 * r4561203;
        double r4561230 = fma(r4561229, r4561201, r4561197);
        double r4561231 = sqrt(r4561230);
        double r4561232 = -r4561231;
        double r4561233 = r4561229 * r4561201;
        double r4561234 = r4561232 * r4561233;
        double r4561235 = fma(r4561226, r4561228, r4561234);
        double r4561236 = r4561230 + r4561197;
        double r4561237 = fma(r4561231, r4561194, r4561236);
        double r4561238 = r4561235 / r4561237;
        double r4561239 = r4561238 / r4561229;
        double r4561240 = r4561196 ? r4561225 : r4561239;
        return r4561240;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 0.10455593216828488

   1. Initial program 23.1

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified 23.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3-- 23.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Simplified 22.6

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   6. Simplified 22.6

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied fma-udef 22.6

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   9. Applied distribute-rgt-in 22.5

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   10. Applied associate--l+ 21.3

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]
   11. Using strategy rm

   12. Applied flip3-- 21.4

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \color{blue}{\frac{{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}^{3}}{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) + \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   13. Simplified 21.0

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right), -\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot b\right)}}{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) + \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   14. Simplified 21.0

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\mathsf{fma}\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right), -\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot b\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(b \cdot b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \left(\left(b \cdot b\right) \cdot b\right) \cdot \mathsf{fma}\left(b \cdot b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, \left(b \cdot b\right) \cdot b\right)\right)}}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   if 0.10455593216828488 < b

   1. Initial program 47.3

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified 47.3

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3-- 47.3

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Simplified 46.9

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   6. Simplified 46.9

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied fma-udef 46.9

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   9. Applied distribute-rgt-in 46.8

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   10. Applied associate--l+ 40.6

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   11. Taylor expanded around inf 9.2

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \color{blue}{\frac{-3}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]
   12. Using strategy rm

   13. Applied frac-2neg 9.2

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{-3}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{-3 \cdot a}}\]

   14. Simplified 9.2

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{3}{2}, \left(b \cdot c\right) \cdot a, \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, b \cdot b\right)} \cdot \left(\left(a \cdot -3\right) \cdot \left(-c\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}}{-3 \cdot a}\]

   15. Simplified 9.2

       \[\leadsto \frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{3}{2}, \left(b \cdot c\right) \cdot a, \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, b \cdot b\right)} \cdot \left(\left(a \cdot -3\right) \cdot \left(-c\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{\color{blue}{-3 \cdot a}}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 10.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 0.10455593216828488:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, -\left(\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(b \cdot b, \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(b \cdot b, \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)} + \left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\mathsf{fma}\left(\frac{3}{2}, a \cdot \left(c \cdot b\right), \left(-\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(\left(a \cdot -3\right) \cdot c\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a \cdot -3, c, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}{a \cdot -3}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019162 +o rules:numerics
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, medium range"
  :pre (and (< 1.1102230246251565e-16 a 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 b 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 c 9007199254740992.0))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))