Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)

Average Error: 0.5 → 0.3

Time: 30.6s

Precision: 64

Math

\[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

↓

\[\left(\left(1 + \left(v \cdot v + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + \log \left(e^{3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)\right)}\right) \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(\left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right) \cdot \left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right) + 1\right) + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27}}{t} \cdot \frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{\pi \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right) \cdot \left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right)\right)\right)}}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)}\]

C

double f(double v, double t) {
        double r8049190 = 1.0;
        double r8049191 = 5.0;
        double r8049192 = v;
        double r8049193 = r8049192 * r8049192;
        double r8049194 = r8049191 * r8049193;
        double r8049195 = r8049190 - r8049194;
        double r8049196 = atan2(1.0, 0.0);
        double r8049197 = t;
        double r8049198 = r8049196 * r8049197;
        double r8049199 = 2.0;
        double r8049200 = 3.0;
        double r8049201 = r8049200 * r8049193;
        double r8049202 = r8049190 - r8049201;
        double r8049203 = r8049199 * r8049202;
        double r8049204 = sqrt(r8049203);
        double r8049205 = r8049198 * r8049204;
        double r8049206 = r8049190 - r8049193;
        double r8049207 = r8049205 * r8049206;
        double r8049208 = r8049195 / r8049207;
        return r8049208;
}

↓

double f(double v, double t) {
        double r8049209 = 1.0;
        double r8049210 = v;
        double r8049211 = r8049210 * r8049210;
        double r8049212 = r8049211 * r8049211;
        double r8049213 = r8049211 + r8049212;
        double r8049214 = r8049209 + r8049213;
        double r8049215 = 3.0;
        double r8049216 = r8049215 * r8049211;
        double r8049217 = r8049216 * r8049216;
        double r8049218 = exp(r8049216);
        double r8049219 = log(r8049218);
        double r8049220 = r8049217 + r8049219;
        double r8049221 = r8049209 + r8049220;
        double r8049222 = sqrt(r8049221);
        double r8049223 = r8049214 * r8049222;
        double r8049224 = r8049211 * r8049210;
        double r8049225 = r8049224 * r8049224;
        double r8049226 = 27.0;
        double r8049227 = r8049225 * r8049226;
        double r8049228 = r8049227 * r8049227;
        double r8049229 = r8049228 + r8049209;
        double r8049230 = r8049229 + r8049227;
        double r8049231 = sqrt(r8049230);
        double r8049232 = t;
        double r8049233 = r8049231 / r8049232;
        double r8049234 = 5.0;
        double r8049235 = r8049234 * r8049210;
        double r8049236 = r8049235 * r8049210;
        double r8049237 = r8049209 - r8049236;
        double r8049238 = atan2(1.0, 0.0);
        double r8049239 = 2.0;
        double r8049240 = r8049227 * r8049228;
        double r8049241 = r8049209 - r8049240;
        double r8049242 = r8049239 * r8049241;
        double r8049243 = sqrt(r8049242);
        double r8049244 = r8049238 * r8049243;
        double r8049245 = r8049237 / r8049244;
        double r8049246 = r8049233 * r8049245;
        double r8049247 = r8049209 - r8049225;
        double r8049248 = r8049246 / r8049247;
        double r8049249 = r8049223 * r8049248;
        return r8049249;
}

Error

Bits error versus v

Bits error versus t

Derivation

1. Initial program 0.5

   \[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
2. Using strategy rm

3. Applied flip3-- 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \color{blue}{\frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}}\]

4. Applied flip3-- 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{{1}^{3} - {\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}\right) \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

5. Applied associate-*r/ 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left({1}^{3} - {\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}\right)}{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}\right) \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

6. Applied sqrt-div 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left({1}^{3} - {\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}\right)}}{\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}\right) \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

7. Applied associate-*r/ 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left({1}^{3} - {\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}\right)}}{\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}} \cdot \frac{{1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}\]

8. Applied frac-times 0.5

   \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left({1}^{3} - {\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}\right)}\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)}{\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}}\]

9. Applied associate-/r/ 0.5

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left({1}^{3} - {\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}^{3}\right)}\right) \cdot \left({1}^{3} - {\left(v \cdot v\right)}^{3}\right)} \cdot \left(\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)}\]

10. Simplified 0.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{\frac{1 - v \cdot \left(v \cdot 5\right)}{\sqrt{\left(1 - \left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 2}}}{\pi \cdot t}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)}} \cdot \left(\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]
11. Using strategy rm

12. Applied add-log-exp 0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1 - v \cdot \left(v \cdot 5\right)}{\sqrt{\left(1 - \left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 2}}}{\pi \cdot t}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)} \cdot \left(\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \color{blue}{\log \left(e^{3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)}\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]
13. Using strategy rm

14. Applied flip3-- 0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1 - v \cdot \left(v \cdot 5\right)}{\sqrt{\color{blue}{\frac{{1}^{3} - {\left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right)}^{3}}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right)\right)}} \cdot 2}}}{\pi \cdot t}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)} \cdot \left(\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \log \left(e^{3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

15. Applied associate-*l/ 0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1 - v \cdot \left(v \cdot 5\right)}{\sqrt{\color{blue}{\frac{\left({1}^{3} - {\left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right)}^{3}\right) \cdot 2}{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right)\right)}}}}}{\pi \cdot t}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)} \cdot \left(\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \log \left(e^{3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

16. Applied sqrt-div 0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\frac{1 - v \cdot \left(v \cdot 5\right)}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\left({1}^{3} - {\left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right)}^{3}\right) \cdot 2}}{\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right)\right)}}}}}{\pi \cdot t}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)} \cdot \left(\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \log \left(e^{3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

17. Applied associate-/r/ 0.4

    \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\frac{1 - v \cdot \left(v \cdot 5\right)}{\sqrt{\left({1}^{3} - {\left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right)}^{3}\right) \cdot 2}} \cdot \sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right)\right)}}}{\pi \cdot t}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)} \cdot \left(\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \log \left(e^{3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

18. Applied times-frac 0.3

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\frac{1 - v \cdot \left(v \cdot 5\right)}{\sqrt{\left({1}^{3} - {\left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right)}^{3}\right) \cdot 2}}}{\pi} \cdot \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right)\right)}}{t}}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)} \cdot \left(\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \log \left(e^{3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

19. Simplified 0.3

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{1 - v \cdot \left(v \cdot 5\right)}{\pi \cdot \sqrt{\left(1 - \left(\left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right) \cdot \left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right)\right) \cdot 2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \left(\left(27 \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right)\right)}}{t}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)} \cdot \left(\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \log \left(e^{3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

20. Simplified 0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{1 - v \cdot \left(v \cdot 5\right)}{\pi \cdot \sqrt{\left(1 - \left(\left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right) \cdot \left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right)\right) \cdot \left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right)\right) \cdot 2}} \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27 + \left(\left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right) \cdot \left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right) + 1\right)}}{t}}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)} \cdot \left(\sqrt{1 \cdot 1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + 1 \cdot \log \left(e^{3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)\right)} \cdot \left(1 \cdot 1 + \left(\left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right) + 1 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)\right)\]

21. Final simplification 0.3

    \[\leadsto \left(\left(1 + \left(v \cdot v + \left(v \cdot v\right) \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(\left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) + \log \left(e^{3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)\right)}\right) \cdot \frac{\frac{\sqrt{\left(\left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right) \cdot \left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right) + 1\right) + \left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27}}{t} \cdot \frac{1 - \left(5 \cdot v\right) \cdot v}{\pi \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - \left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right) \cdot \left(\left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right) \cdot \left(\left(\left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)\right) \cdot 27\right)\right)\right)}}}{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot v\right)}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019162 
(FPCore (v t)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)"
  (/ (- 1 (* 5 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2 (- 1 (* 3 (* v v)))))) (- 1 (* v v)))))