Average Error: 29.9 → 0.7
Time: 10.9s
Precision: 64
\[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\]
↓
\[\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}, \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}, \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}, \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)}\]
\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}
↓
\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}, \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}, \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}, \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)}
double f(double x) {
        double r844850 = x;
        double r844851 = 1.0;
        double r844852 = r844850 + r844851;
        double r844853 = cbrt(r844852);
        double r844854 = cbrt(r844850);
        double r844855 = r844853 - r844854;
        return r844855;
}
↓
double f(double x) {
        double r844856 = 1.0;
        double r844857 = x;
        double r844858 = cbrt(r844857);
        double r844859 = r844857 + r844856;
        double r844860 = cbrt(r844859);
        double r844861 = cbrt(r844860);
        double r844862 = r844860 * r844860;
        double r844863 = cbrt(r844862);
        double r844864 = r844861 * r844863;
        double r844865 = r844858 * r844858;
        double r844866 = fma(r844864, r844864, r844865);
        double r844867 = fma(r844858, r844864, r844866);
        double r844868 = r844856 / r844867;
        return r844868;
}

Error

Bits error versus x

Derivation

  1. Initial program 29.9

    \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied add-cube-cbrt30.0

    \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right) \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x}\]

  4. Applied cbrt-prod30.0

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x}\]
  5. Using strategy rm

  6. Applied flip3--29.9

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right) + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right)}}\]

  7. Simplified29.9

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right) - x}}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right) + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}}\right) \cdot \sqrt[3]{x}\right)}\]

  8. Simplified29.9

    \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}\right) - x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{1 + x}}, \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{1 + x}}, \sqrt[3]{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{1 + x}}, \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)}}\]

  9. Taylor expanded around 0 0.7

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{1 + x}}, \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{1 + x}}, \sqrt[3]{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{1 + x}}, \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)}\]

  10. Final simplification0.7

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}, \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}, \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}}, \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right)\right)}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019156 +o rules:numerics
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  (- (cbrt (+ x 1)) (cbrt x)))