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Precision: 64
\[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -5.481265975678271 \cdot 10^{-297}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.6193449042408916 \cdot 10^{+129}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -5.481265975678271 \cdot 10^{-297}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot 2.0}\\

\mathbf{elif}\;re \le 3.6193449042408916 \cdot 10^{+129}:\\
\;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \cdot 0.5\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r3429228 = 0.5;
        double r3429229 = 2.0;
        double r3429230 = re;
        double r3429231 = r3429230 * r3429230;
        double r3429232 = im;
        double r3429233 = r3429232 * r3429232;
        double r3429234 = r3429231 + r3429233;
        double r3429235 = sqrt(r3429234);
        double r3429236 = r3429235 + r3429230;
        double r3429237 = r3429229 * r3429236;
        double r3429238 = sqrt(r3429237);
        double r3429239 = r3429228 * r3429238;
        return r3429239;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r3429240 = re;
        double r3429241 = -5.481265975678271e-297;
        bool r3429242 = r3429240 <= r3429241;
        double r3429243 = 0.5;
        double r3429244 = im;
        double r3429245 = r3429244 * r3429244;
        double r3429246 = r3429240 * r3429240;
        double r3429247 = r3429246 + r3429245;
        double r3429248 = sqrt(r3429247);
        double r3429249 = r3429248 - r3429240;
        double r3429250 = r3429245 / r3429249;
        double r3429251 = 2.0;
        double r3429252 = r3429250 * r3429251;
        double r3429253 = sqrt(r3429252);
        double r3429254 = r3429243 * r3429253;
        double r3429255 = 3.6193449042408916e+129;
        bool r3429256 = r3429240 <= r3429255;
        double r3429257 = r3429248 + r3429240;
        double r3429258 = r3429251 * r3429257;
        double r3429259 = sqrt(r3429258);
        double r3429260 = r3429259 * r3429243;
        double r3429261 = r3429240 + r3429240;
        double r3429262 = r3429261 * r3429251;
        double r3429263 = sqrt(r3429262);
        double r3429264 = r3429243 * r3429263;
        double r3429265 = r3429256 ? r3429260 : r3429264;
        double r3429266 = r3429242 ? r3429254 : r3429265;
        return r3429266;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.5
Target32.8
Herbie26.3
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \lt 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if re < -5.481265975678271e-297

    1. Initial program 45.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt45.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    4. Applied sqrt-prod45.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]
    5. Using strategy rm

    6. Applied flip-+45.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}}\]

    7. Simplified35.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}\]

    8. Simplified35.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}}\]

    if -5.481265975678271e-297 < re < 3.6193449042408916e+129

    1. Initial program 20.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 3.6193449042408916e+129 < re

    1. Initial program 54.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 9.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2.0 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification26.3

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -5.481265975678271 \cdot 10^{-297}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re} \cdot 2.0}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.6193449042408916 \cdot 10^{+129}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2.0 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{\left(re + re\right) \cdot 2.0}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019155 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"

  :herbie-target
  (if (< re 0) (* 0.5 (* (sqrt 2) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))