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Precision: 64
\[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log 10}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -86.01993975715544:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left(-re\right)}{\log 10}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.7915490690311645 \cdot 10^{-225}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\frac{\log 10}{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)} \cdot \frac{\log 10}{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)}\right) \cdot \frac{\log 10}{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)}}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.785268620035206 \cdot 10^{-190}:\\ \;\;\;\;\frac{\log im}{\log 10}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.884985694072655 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)}{\log 10}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\log re}{\log 10}\\ \end{array}\]
\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log 10}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \le -86.01993975715544:\\
\;\;\;\;\frac{\log \left(-re\right)}{\log 10}\\

\mathbf{elif}\;re \le 3.7915490690311645 \cdot 10^{-225}:\\
\;\;\;\;\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\frac{\log 10}{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)} \cdot \frac{\log 10}{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)}\right) \cdot \frac{\log 10}{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)}}}\\

\mathbf{elif}\;re \le 5.785268620035206 \cdot 10^{-190}:\\
\;\;\;\;\frac{\log im}{\log 10}\\

\mathbf{elif}\;re \le 3.884985694072655 \cdot 10^{+111}:\\
\;\;\;\;\frac{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)}{\log 10}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\frac{\log re}{\log 10}\\

\end{array}
double f(double re, double im) {
        double r642333 = re;
        double r642334 = r642333 * r642333;
        double r642335 = im;
        double r642336 = r642335 * r642335;
        double r642337 = r642334 + r642336;
        double r642338 = sqrt(r642337);
        double r642339 = log(r642338);
        double r642340 = 10.0;
        double r642341 = log(r642340);
        double r642342 = r642339 / r642341;
        return r642342;
}
↓
double f(double re, double im) {
        double r642343 = re;
        double r642344 = -86.01993975715544;
        bool r642345 = r642343 <= r642344;
        double r642346 = -r642343;
        double r642347 = log(r642346);
        double r642348 = 10.0;
        double r642349 = log(r642348);
        double r642350 = r642347 / r642349;
        double r642351 = 3.7915490690311645e-225;
        bool r642352 = r642343 <= r642351;
        double r642353 = 1.0;
        double r642354 = im;
        double r642355 = r642354 * r642354;
        double r642356 = r642343 * r642343;
        double r642357 = r642355 + r642356;
        double r642358 = cbrt(r642357);
        double r642359 = fabs(r642358);
        double r642360 = cbrt(r642358);
        double r642361 = fabs(r642360);
        double r642362 = r642359 * r642361;
        double r642363 = sqrt(r642360);
        double r642364 = r642362 * r642363;
        double r642365 = log(r642364);
        double r642366 = r642349 / r642365;
        double r642367 = r642366 * r642366;
        double r642368 = r642367 * r642366;
        double r642369 = cbrt(r642368);
        double r642370 = r642353 / r642369;
        double r642371 = 5.785268620035206e-190;
        bool r642372 = r642343 <= r642371;
        double r642373 = log(r642354);
        double r642374 = r642373 / r642349;
        double r642375 = 3.884985694072655e+111;
        bool r642376 = r642343 <= r642375;
        double r642377 = r642365 / r642349;
        double r642378 = log(r642343);
        double r642379 = r642378 / r642349;
        double r642380 = r642376 ? r642377 : r642379;
        double r642381 = r642372 ? r642374 : r642380;
        double r642382 = r642352 ? r642370 : r642381;
        double r642383 = r642345 ? r642350 : r642382;
        return r642383;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -86.01993975715544

    1. Initial program 38.8

      \[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log 10}\]

    2. Taylor expanded around -inf 12.7

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{\left(-1 \cdot re\right)}}{\log 10}\]

    3. Simplified12.7

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{\left(-re\right)}}{\log 10}\]

    if -86.01993975715544 < re < 3.7915490690311645e-225

    1. Initial program 24.7

      \[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log 10}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt24.7

      \[\leadsto \frac{\log \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}{\log 10}\]

    4. Applied sqrt-prod24.7

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}}{\log 10}\]

    5. Simplified24.7

      \[\leadsto \frac{\log \left(\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log 10}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied add-cube-cbrt24.7

      \[\leadsto \frac{\log \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}}\right)}{\log 10}\]

    8. Applied sqrt-prod24.7

      \[\leadsto \frac{\log \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}\right)}{\log 10}\]

    9. Applied associate-*r*24.7

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{\left(\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}}{\log 10}\]

    10. Simplified24.7

      \[\leadsto \frac{\log \left(\color{blue}{\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|\right)} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}{\log 10}\]
    11. Using strategy rm

    12. Applied clear-num24.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\log 10}{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}}}\]
    13. Using strategy rm

    14. Applied add-cbrt-cube24.8

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\log 10}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \log \left(\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)\right) \cdot \log \left(\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}}}}\]

    15. Applied add-cbrt-cube25.1

      \[\leadsto \frac{1}{\frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\log 10 \cdot \log 10\right) \cdot \log 10}}}{\sqrt[3]{\left(\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \log \left(\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)\right) \cdot \log \left(\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}}}\]

    16. Applied cbrt-undiv24.8

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{\left(\log 10 \cdot \log 10\right) \cdot \log 10}{\left(\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \log \left(\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)\right) \cdot \log \left(\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}}}}\]

    17. Simplified24.8

      \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{\log 10}{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)} \cdot \left(\frac{\log 10}{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)} \cdot \frac{\log 10}{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)}\right)}}}\]

    if 3.7915490690311645e-225 < re < 5.785268620035206e-190

    1. Initial program 34.6

      \[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log 10}\]

    2. Taylor expanded around 0 32.1

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{im}}{\log 10}\]

    if 5.785268620035206e-190 < re < 3.884985694072655e+111

    1. Initial program 17.4

      \[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log 10}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt17.4

      \[\leadsto \frac{\log \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}{\log 10}\]

    4. Applied sqrt-prod17.4

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}}{\log 10}\]

    5. Simplified17.4

      \[\leadsto \frac{\log \left(\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}{\log 10}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied add-cube-cbrt17.4

      \[\leadsto \frac{\log \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}}\right)}{\log 10}\]

    8. Applied sqrt-prod17.4

      \[\leadsto \frac{\log \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}\right)}{\log 10}\]

    9. Applied associate-*r*17.4

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{\left(\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}}{\log 10}\]

    10. Simplified17.4

      \[\leadsto \frac{\log \left(\color{blue}{\left(\left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|\right)} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}}\right)}{\log 10}\]

    if 3.884985694072655e+111 < re

    1. Initial program 52.8

      \[\frac{\log \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}{\log 10}\]

    2. Taylor expanded around inf 9.4

      \[\leadsto \frac{\log \color{blue}{re}}{\log 10}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification17.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \le -86.01993975715544:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left(-re\right)}{\log 10}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.7915490690311645 \cdot 10^{-225}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\sqrt[3]{\left(\frac{\log 10}{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)} \cdot \frac{\log 10}{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)}\right) \cdot \frac{\log 10}{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)}}}\\ \mathbf{elif}\;re \le 5.785268620035206 \cdot 10^{-190}:\\ \;\;\;\;\frac{\log im}{\log 10}\\ \mathbf{elif}\;re \le 3.884985694072655 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;\frac{\log \left(\left(\left|\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}\right| \cdot \left|\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[3]{im \cdot im + re \cdot re}}}\right)}{\log 10}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\log re}{\log 10}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019153 
(FPCore (re im)
  :name "math.log10 on complex, real part"
  (/ (log (sqrt (+ (* re re) (* im im)))) (log 10)))