Cubic critical, narrow range

Average Error: 28.7 → 15.5

Time: 34.5s

Precision: 64

\[1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} \lt a \lt 94906265.62425156 \land 1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} \lt b \lt 94906265.62425156 \land 1.0536712127723509 \cdot 10^{-08} \lt c \lt 94906265.62425156\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 2892.1913455639924:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, \left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(-b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b \cdot b, b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{a \cdot 3}{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(a \cdot c\right) \cdot b, \frac{-3}{2}, \left(a \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)\right)}}}\\ \end{array}\]

C

double f(double a, double b, double c) {
        double r1925577 = b;
        double r1925578 = -r1925577;
        double r1925579 = r1925577 * r1925577;
        double r1925580 = 3.0;
        double r1925581 = a;
        double r1925582 = r1925580 * r1925581;
        double r1925583 = c;
        double r1925584 = r1925582 * r1925583;
        double r1925585 = r1925579 - r1925584;
        double r1925586 = sqrt(r1925585);
        double r1925587 = r1925578 + r1925586;
        double r1925588 = r1925587 / r1925582;
        return r1925588;
}

↓

double f(double a, double b, double c) {
        double r1925589 = b;
        double r1925590 = 2892.1913455639924;
        bool r1925591 = r1925589 <= r1925590;
        double r1925592 = a;
        double r1925593 = c;
        double r1925594 = r1925592 * r1925593;
        double r1925595 = -3.0;
        double r1925596 = r1925594 * r1925595;
        double r1925597 = r1925589 * r1925589;
        double r1925598 = fma(r1925594, r1925595, r1925597);
        double r1925599 = sqrt(r1925598);
        double r1925600 = r1925596 * r1925599;
        double r1925601 = r1925597 * r1925597;
        double r1925602 = r1925601 * r1925597;
        double r1925603 = r1925598 * r1925599;
        double r1925604 = r1925589 * r1925597;
        double r1925605 = -r1925604;
        double r1925606 = r1925602 * r1925605;
        double r1925607 = fma(r1925602, r1925603, r1925606);
        double r1925608 = fma(r1925599, r1925597, r1925604);
        double r1925609 = r1925604 * r1925608;
        double r1925610 = fma(r1925601, r1925598, r1925609);
        double r1925611 = r1925607 / r1925610;
        double r1925612 = r1925600 + r1925611;
        double r1925613 = r1925597 + r1925598;
        double r1925614 = fma(r1925599, r1925589, r1925613);
        double r1925615 = r1925612 / r1925614;
        double r1925616 = 3.0;
        double r1925617 = r1925592 * r1925616;
        double r1925618 = r1925615 / r1925617;
        double r1925619 = 1.0;
        double r1925620 = r1925594 * r1925589;
        double r1925621 = -1.5;
        double r1925622 = r1925595 * r1925593;
        double r1925623 = fma(r1925592, r1925622, r1925597);
        double r1925624 = sqrt(r1925623);
        double r1925625 = r1925592 * r1925624;
        double r1925626 = r1925625 * r1925622;
        double r1925627 = fma(r1925620, r1925621, r1925626);
        double r1925628 = r1925597 + r1925623;
        double r1925629 = fma(r1925624, r1925589, r1925628);
        double r1925630 = r1925627 / r1925629;
        double r1925631 = r1925617 / r1925630;
        double r1925632 = r1925619 / r1925631;
        double r1925633 = r1925591 ? r1925618 : r1925632;
        return r1925633;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if b < 2892.1913455639924

   1. Initial program 18.6

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified 18.6

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3-- 18.7

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Simplified 18.0

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   6. Simplified 18.0

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}}{3 \cdot a}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied fma-udef 18.0

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]

   9. Applied distribute-rgt-in 17.8

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]

   10. Applied associate--l+ 17.5

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]
   11. Using strategy rm

   12. Applied flip3-- 17.5

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \color{blue}{\frac{{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}^{3}}{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) + \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]

   13. Simplified 16.6

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(-\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) + \left(\left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]

   14. Simplified 16.6

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(-\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b \cdot b, b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]

   if 2892.1913455639924 < b

   1. Initial program 37.1

      \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

   2. Simplified 37.1

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
   3. Using strategy rm

   4. Applied flip3-- 37.2

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{{\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}\right)}^{3} - {b}^{3}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}}{3 \cdot a}\]

   5. Simplified 36.5

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b + \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot b\right)}}{3 \cdot a}\]

   6. Simplified 36.5

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}}{3 \cdot a}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied fma-udef 36.5

      \[\leadsto \frac{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} \cdot \color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3 + b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]

   9. Applied distribute-rgt-in 36.4

      \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]

   10. Applied associate--l+ 33.6

       \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \left(\left(b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} - b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]

   11. Taylor expanded around inf 14.6

       \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \color{blue}{\frac{-3}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{3 \cdot a}\]
   12. Using strategy rm

   13. Applied clear-num 14.6

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{3 \cdot a}{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{-3}{2} \cdot \left(a \cdot \left(b \cdot c\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}}}\]

   14. Simplified 14.6

       \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\frac{a \cdot 3}{\frac{\mathsf{fma}\left(b \cdot \left(a \cdot c\right), \frac{-3}{2}, \left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)} \cdot a\right) \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)}, b, \mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right) + b \cdot b\right)}}}}\]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 15.5

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;b \le 2892.1913455639924:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(\left(a \cdot c\right) \cdot -3\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)} + \frac{\mathsf{fma}\left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, \left(\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \left(-b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\left(b \cdot b\right) \cdot \left(b \cdot b\right), \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right), \left(b \cdot \left(b \cdot b\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b \cdot b, b \cdot \left(b \cdot b\right)\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a \cdot c, -3, b \cdot b\right)\right)}}{a \cdot 3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{\frac{a \cdot 3}{\frac{\mathsf{fma}\left(\left(a \cdot c\right) \cdot b, \frac{-3}{2}, \left(a \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)}\right) \cdot \left(-3 \cdot c\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)}, b, b \cdot b + \mathsf{fma}\left(a, -3 \cdot c, b \cdot b\right)\right)}}}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019152 +o rules:numerics
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, narrow range"
  :pre (and (< 1.0536712127723509e-08 a 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 b 94906265.62425156) (< 1.0536712127723509e-08 c 94906265.62425156))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))