Cubic critical, medium range

Average Error: 44.7 → 44.0

Time: 26.8s

Precision: 64

\[1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt a \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt b \lt 9007199254740992.0 \land 1.1102230246251565 \cdot 10^{-16} \lt c \lt 9007199254740992.0\]

Math

\[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

↓

\[\frac{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, \left(a \cdot c\right) \cdot -3\right)}}, -b\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, \left(a \cdot c\right) \cdot -3\right)}}, -b\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, \left(a \cdot c\right) \cdot -3\right)}}, -b\right)}}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, \left(a \cdot c\right) \cdot -3\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, \left(a \cdot c\right) \cdot -3\right)}}, -b\right)}\right)}{a \cdot 3}\]

C

double f(double a, double b, double c) {
        double r3732500 = b;
        double r3732501 = -r3732500;
        double r3732502 = r3732500 * r3732500;
        double r3732503 = 3.0;
        double r3732504 = a;
        double r3732505 = r3732503 * r3732504;
        double r3732506 = c;
        double r3732507 = r3732505 * r3732506;
        double r3732508 = r3732502 - r3732507;
        double r3732509 = sqrt(r3732508);
        double r3732510 = r3732501 + r3732509;
        double r3732511 = r3732510 / r3732505;
        return r3732511;
}

↓

double f(double a, double b, double c) {
        double r3732512 = -3.0;
        double r3732513 = a;
        double r3732514 = c;
        double r3732515 = r3732513 * r3732514;
        double r3732516 = b;
        double r3732517 = r3732516 * r3732516;
        double r3732518 = fma(r3732512, r3732515, r3732517);
        double r3732519 = sqrt(r3732518);
        double r3732520 = sqrt(r3732519);
        double r3732521 = r3732515 * r3732512;
        double r3732522 = fma(r3732516, r3732516, r3732521);
        double r3732523 = sqrt(r3732522);
        double r3732524 = sqrt(r3732523);
        double r3732525 = -r3732516;
        double r3732526 = fma(r3732520, r3732524, r3732525);
        double r3732527 = cbrt(r3732526);
        double r3732528 = cbrt(r3732527);
        double r3732529 = r3732528 * r3732528;
        double r3732530 = r3732528 * r3732529;
        double r3732531 = r3732527 * r3732527;
        double r3732532 = r3732530 * r3732531;
        double r3732533 = 3.0;
        double r3732534 = r3732513 * r3732533;
        double r3732535 = r3732532 / r3732534;
        return r3732535;
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Derivation

1. Initial program 44.7

   \[\frac{\left(-b\right) + \sqrt{b \cdot b - \left(3 \cdot a\right) \cdot c}}{3 \cdot a}\]

2. Simplified 44.7

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} - b}{3 \cdot a}}\]
3. Using strategy rm

4. Applied add-sqr-sqrt 44.7

   \[\leadsto \frac{\sqrt{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}} - b}{3 \cdot a}\]

5. Applied sqrt-prod 44.7

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}} - b}{3 \cdot a}\]

6. Applied fma-neg 44.1

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, -b\right)}}{3 \cdot a}\]

7. Taylor expanded around 0 44.1

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\color{blue}{{b}^{2} - 3 \cdot \left(a \cdot c\right)}}}, -b\right)}{3 \cdot a}\]

8. Simplified 44.0

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, b, -3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}}}, -b\right)}{3 \cdot a}\]
9. Using strategy rm

10. Applied add-cube-cbrt 44.0

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, -3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, -3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}}, -b\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, -3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}}, -b\right)}}}{3 \cdot a}\]
11. Using strategy rm

12. Applied add-cube-cbrt 44.0

    \[\leadsto \frac{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, -3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, -3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}}, -b\right)}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, -3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}}, -b\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, -3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}}, -b\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, c \cdot a, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, -3 \cdot \left(a \cdot c\right)\right)}}, -b\right)}}\right)}}{3 \cdot a}\]

13. Final simplification 44.0

    \[\leadsto \frac{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, \left(a \cdot c\right) \cdot -3\right)}}, -b\right)}} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, \left(a \cdot c\right) \cdot -3\right)}}, -b\right)}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, \left(a \cdot c\right) \cdot -3\right)}}, -b\right)}}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, \left(a \cdot c\right) \cdot -3\right)}}, -b\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(-3, a \cdot c, b \cdot b\right)}}, \sqrt{\sqrt{\mathsf{fma}\left(b, b, \left(a \cdot c\right) \cdot -3\right)}}, -b\right)}\right)}{a \cdot 3}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019152 +o rules:numerics
(FPCore (a b c)
  :name "Cubic critical, medium range"
  :pre (and (< 1.1102230246251565e-16 a 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 b 9007199254740992.0) (< 1.1102230246251565e-16 c 9007199254740992.0))
  (/ (+ (- b) (sqrt (- (* b b) (* (* 3 a) c)))) (* 3 a)))