Jmat.Real.erf

Average Error: 13.9 → 13.9

Time: 36.0s

Precision: 64

Math

\[1 - \left(\frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(0.254829592 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\]

↓

\[{e}^{\left(\log \left(\mathsf{fma}\left(1, 1, \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(\frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot 1.061405429 + -1.453152027\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911}\right) \cdot \left(-e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right)} + \mathsf{fma}\left(-e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}, \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(\frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot 1.061405429 + -1.453152027\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911}, e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(\frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot 1.061405429 + -1.453152027\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911}\right)\right)\]

C

double f(double x) {
        double r5927338 = 1.0;
        double r5927339 = 0.3275911;
        double r5927340 = x;
        double r5927341 = fabs(r5927340);
        double r5927342 = r5927339 * r5927341;
        double r5927343 = r5927338 + r5927342;
        double r5927344 = r5927338 / r5927343;
        double r5927345 = 0.254829592;
        double r5927346 = -0.284496736;
        double r5927347 = 1.421413741;
        double r5927348 = -1.453152027;
        double r5927349 = 1.061405429;
        double r5927350 = r5927344 * r5927349;
        double r5927351 = r5927348 + r5927350;
        double r5927352 = r5927344 * r5927351;
        double r5927353 = r5927347 + r5927352;
        double r5927354 = r5927344 * r5927353;
        double r5927355 = r5927346 + r5927354;
        double r5927356 = r5927344 * r5927355;
        double r5927357 = r5927345 + r5927356;
        double r5927358 = r5927344 * r5927357;
        double r5927359 = r5927341 * r5927341;
        double r5927360 = -r5927359;
        double r5927361 = exp(r5927360);
        double r5927362 = r5927358 * r5927361;
        double r5927363 = r5927338 - r5927362;
        return r5927363;
}

↓

double f(double x) {
        double r5927364 = exp(1.0);
        double r5927365 = 1.0;
        double r5927366 = 0.254829592;
        double r5927367 = cbrt(r5927366);
        double r5927368 = r5927367 * r5927367;
        double r5927369 = x;
        double r5927370 = fabs(r5927369);
        double r5927371 = 0.3275911;
        double r5927372 = r5927370 * r5927371;
        double r5927373 = r5927365 + r5927372;
        double r5927374 = r5927365 / r5927373;
        double r5927375 = -0.284496736;
        double r5927376 = 1.421413741;
        double r5927377 = 1.061405429;
        double r5927378 = r5927374 * r5927377;
        double r5927379 = -1.453152027;
        double r5927380 = r5927378 + r5927379;
        double r5927381 = r5927374 * r5927380;
        double r5927382 = r5927376 + r5927381;
        double r5927383 = r5927374 * r5927382;
        double r5927384 = r5927375 + r5927383;
        double r5927385 = r5927374 * r5927384;
        double r5927386 = fma(r5927368, r5927367, r5927385);
        double r5927387 = r5927386 * r5927374;
        double r5927388 = r5927370 * r5927370;
        double r5927389 = -r5927388;
        double r5927390 = exp(r5927389);
        double r5927391 = -r5927390;
        double r5927392 = r5927387 * r5927391;
        double r5927393 = fma(r5927365, r5927365, r5927392);
        double r5927394 = log(r5927393);
        double r5927395 = pow(r5927364, r5927394);
        double r5927396 = r5927390 * r5927387;
        double r5927397 = fma(r5927391, r5927387, r5927396);
        double r5927398 = r5927395 + r5927397;
        return r5927398;
}

Error

Bits error versus x

Derivation

1. Initial program 13.9

   \[1 - \left(\frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(0.254829592 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\]
2. Using strategy rm

3. Applied add-cube-cbrt 13.9

   \[\leadsto 1 - \left(\frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}\right) \cdot \sqrt[3]{0.254829592}} + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\]

4. Applied fma-def 13.9

   \[\leadsto 1 - \left(\frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right)}\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\]
5. Using strategy rm

6. Applied *-un-lft-identity 13.9

   \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot 1} - \left(\frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right)\right) \cdot e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\]

7. Applied prod-diff 13.9

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(1, 1, -e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|} \cdot \left(\frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right)\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right), e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|} \cdot \left(\frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right)\right)\right)}\]
8. Using strategy rm

9. Applied add-exp-log 13.9

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\mathsf{fma}\left(1, 1, -e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|} \cdot \left(\frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}} + \mathsf{fma}\left(-e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right), e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|} \cdot \left(\frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right)\right)\right)\]
10. Using strategy rm

11. Applied *-un-lft-identity 13.9

    \[\leadsto e^{\color{blue}{1 \cdot \log \left(\mathsf{fma}\left(1, 1, -e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|} \cdot \left(\frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}} + \mathsf{fma}\left(-e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right), e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|} \cdot \left(\frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right)\right)\right)\]

12. Applied exp-prod 13.9

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(e^{1}\right)}^{\left(\log \left(\mathsf{fma}\left(1, 1, -e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|} \cdot \left(\frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)}} + \mathsf{fma}\left(-e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right), e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|} \cdot \left(\frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right)\right)\right)\]

13. Simplified 13.9

    \[\leadsto {\color{blue}{e}}^{\left(\log \left(\mathsf{fma}\left(1, 1, -e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|} \cdot \left(\frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\right)} + \mathsf{fma}\left(-e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right), e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|} \cdot \left(\frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot \left(-1.453152027 + \frac{1}{1 + 0.3275911 \cdot \left|x\right|} \cdot 1.061405429\right)\right)\right)\right)\right)\right)\]

14. Final simplification 13.9

    \[\leadsto {e}^{\left(\log \left(\mathsf{fma}\left(1, 1, \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(\frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot 1.061405429 + -1.453152027\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911}\right) \cdot \left(-e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}\right)\right)\right)\right)} + \mathsf{fma}\left(-e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|}, \mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(\frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot 1.061405429 + -1.453152027\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911}, e^{-\left|x\right| \cdot \left|x\right|} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{0.254829592} \cdot \sqrt[3]{0.254829592}, \sqrt[3]{0.254829592}, \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(-0.284496736 + \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(1.421413741 + \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot \left(\frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911} \cdot 1.061405429 + -1.453152027\right)\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{1 + \left|x\right| \cdot 0.3275911}\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2019149 +o rules:numerics
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.erf"
  (- 1 (* (* (/ 1 (+ 1 (* 0.3275911 (fabs x)))) (+ 0.254829592 (* (/ 1 (+ 1 (* 0.3275911 (fabs x)))) (+ -0.284496736 (* (/ 1 (+ 1 (* 0.3275911 (fabs x)))) (+ 1.421413741 (* (/ 1 (+ 1 (* 0.3275911 (fabs x)))) (+ -1.453152027 (* (/ 1 (+ 1 (* 0.3275911 (fabs x)))) 1.061405429))))))))) (exp (- (* (fabs x) (fabs x)))))))